- 4 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/02/23(木) 09:31:29.94 ]
- 過去スレpart5の858の修正
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体（過去スレpart4の854）の族とする。
各 E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であるとする。
I の部分集合 J に対して (E_j)、j ∈ J の合成体（過去スレpart4の298）を F_J とする。
以下の条件が成り立つとする。
（1）L = F_I、即ち L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。
（2）I の任意の有限部分集合 J と任意の i ∈ I - J に対して E_i ∩ F_J = K
このとき L/K は正規拡大であり、
Aut(L/K)（過去スレpart4の847）は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。
証明
過去スレpart5の857より、 L/K は正規拡大である。
過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i：Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
よって、族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f：Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を定める。
Aut(L/K) はコンパクトであるから過去スレpart5の74より f が全単射であることを示せば良い。
L は (E_i)、i ∈ I の合成体であるから f は単射である。
よって、f が全射であることを示せば良い。
（続く）
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