- 3 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/02/23(木) 09:30:09.45 ]
- 過去スレpart5の855と856の修正
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
E_1、．．．、E_n を L/K の中間体（過去スレpart4の854）で、
各 E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であるとする。
各 i = 1、．．．、n に対して E_1、．．．、E_i の合成体（過去スレpart5の298）を F_i とする。
各 i = 1、．．．、n - 1 に対して E_(i+1) ∩ F_i = K とする。
このとき F_n/K は正規拡大であり、
Aut(F_n/K)（過去スレpart4の847）は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。
証明
n に関する帰納法を使う。
過去スレpart5の337より各 F_i/K は正規拡大である。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より Aut(F_(n-1)/K) は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_(n-1)/K) に位相群として同型である。
一方、過去スレpart5の339より Aut(F_n/K) は Aut(E_n/K)×Aut(F_(n-1)/K) に位相群として同型である。
よって、Aut(F_n/K)は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。
証明終
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