- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/19(月) 01:23:23 ]
- >>832
無限小の定義は、実際に「無限小派」の人種に聞いてみないと
分からない。大抵の場合は、「物凄く小さい数」という曖昧な
定義しか与えられていない。ここで、もしその「無限小派」が
(1)無限小εを1つ固定し、「0.999…」という記号列を1−εで定義する。
(2)1−ε/2などの量には、無限小数展開は定義しない。
という主張をするならば、我々は、この「無限小派」が
考える数の体系の矛盾を指摘することは出来ない。
なぜなら、こういう数の体系は実は矛盾しておらず、
数学的に構成可能だから。
数学的には、無限小は超準解析を使って厳密に定義できる。
そして、超実数体R^*から正の無限小εを1つ取って固定し、
「0.999…」という記号列を1−εで定義することは
何ら問題なく、従って、(1)(2)からは何も矛盾は導けない。
ただし、「無限小派」の多くは、(1)は主張するが(2)は主張しない。
そして、(2)を主張しない場合、「1−ε/2」という量に
どういう無限小数展開を与えるのかは大きな問題となる。
というか、1−ε/2に自然な無限小数展開を与えることは
もはや不可能である。
しかし、(2)を主張しない「無限小派」の多くは、1−ε/2もまた
「0.999…」だと思っている。この場合、1−ε/2＝0.999…＝1−ε
ということになってε＝0となって矛盾するので、この時点で
「無限小派」は黙ってしまう。
これが>>831の意味だ。
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