- 86 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/30(火) 12:24:12 ]
- 命題
X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
p を 1 ≦ p ≦ +∞ を満たす実数とする。
q を p の共役指数(過去スレ010の578)とする。
即ち 1/p + 1/q = 1 である。
ただし、 p = 1 のとき q = +∞ であり、q = 1 のとき p = +∞ とする。
f を L^p(X, C, μ) (過去スレ008の299および過去スレ010の567)の元とする。
g ∈ L^q(X, C, μ) に ∫ fg dμ を対応させる写像 L(f) は連続線形写像であり、
そのノルム(過去スレ006の690)は N_p(f) に等しい。
さらに、L(f) = L(h) なら f = h (μ-a.e.)である。
証明
>>69, >>73, >>82 より、
N_p(f) = sup { |∫ fg dμ| ; g ∈ L^q(X, C, μ), N_q(g) ≦ 1 } である。
よって、L(f) のノルムは N_p(f) である。
L(f) = L(h) なら L(f - h) = 0 である。
よって、N_p(f - h) = 0 である。
よって、f = h (μ-a.e.)である。
証明終
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