- 71 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/30(火) 01:00:07 ]
- >>70を改めて述べる。
補題
X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
f を K(X, C) の任意の元とする。
K(X, C) の元の列 (h_n), n = 1, 2, ... で |h_n| ≦ 1 であり、
lim ∫ f(h_n) dμ = ∫ |f| dμ となるものが存在する。
証明
整数 n ＞ 0 に対して K_n = {x ∈ X: |f(x)| ≧ 1/n } とおく。
g_n を 0 ≦ g_n ≦ 1 かつ g_n は K_n で 1 となり、
X - K_2n で 0 となる連続関数とする。
関数 h_n を次のように定義する。
f(x) ≠ 0 のとき、h_n(x) = (f~(x)/|f(x)|)g_n(x)
f(x) ＝ 0 のとき、h_n(x) = 0
ここで、f~(x) は f(x) の複素共役である。
|h_n| ≦ 1 である。
U = {x ∈ X: f(x) ≠ 0 } とおく。
K_1 ⊂ K_2 ⊂ ... であり、U = ∪K_n, n =1, 2, ... である。
h_n は、X - K_2n で 0 である。
h_n は、U 上で連続であり、X = U ∪ (X - K_2n) であるから、
X 上でも連続である。
よって、h_n ∈ K(X, C) である。
|∫ |f| dμ - ∫ f(h_n) dμ| ≦ ∫ ||f| - f(h_n)| dμ
= ∫ χ_(U - K_n)||f| - f(h_n)| dμ ≦ 2M μ(U - K_n)
ここで、 M = sup{|f(x)|; x ∈ X} である。
μ(U) = lim μ(K_n) であるから lim μ(U - K_n) = 0 である。
よって、lim ∫ f(h_n) dμ = ∫ |f| dμ である。
証明終
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