- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/12(月) 14:45:12 ]
- >>15
区間[0,∞)の積分ならば、計算できる。
αを実定数、x≧0として、
f(x) = (∫[0,x]sin(t^2+α/2)dt)(∫[0,x]cos(t^2+α/2)dt),
g(x) = ∫[0,1]cos(x^2(1+t^2)+α)/(1+t^2)dt
とすると、
(d/dx)f(x) + (1/2)(d/dx)g(x) = 0
が成り立つので、f(x) + (1/2)g(x) = 定数で、x=0を代入して定数を計算すると
f(x) + (1/2)g(x) = (π/8)cosα
となる。
g(x)の積分区間を[0,1/√x]と[1/√x,1]の２つに分けて、絶対値を評価すると
|g(x)| ≦ 1/√x + |∫[1/√x,1]cos(x^2(1+t^2)+α)/(1+t^2)dt|
＝ 1/√x + |∫[1/√x,1](d/dt)sin(x^2(1+t^2)+α)/(2x^2 t(1+t^2))dt|
≦ 1/√x + 1/(4x^2) + 1/(2x√x) + 2/x
なので、
|g(x)|→0, x→∞。
α=0のときlim[x→∞]f(x)=π/8なので
(∫[0,∞]cos(t^2)dt)(∫[0,∞]sin(t^2)dt) = π/8
α=π/2のときlim[x→∞]f(x)=0なので、
(∫[0,∞]cos(t^2)dt)^2 - (∫[0,∞]sin(t^2)dt)^2 = 0
したがって、
∫[0,∞]cos(t^2)dx = ∫[0,∞]sin(t^2)dx = ±√(π/8)
∫[0,∞]sin(t^2)dx = ∫[0,√(π/2)]sin(t^2)dx + ∫[√(π/2),∞]sin(t^2)dx
≧ ∫[0,√(π/2)]sin(t^2)dx + 1/√(2π) - ∫[√(π/2),∞](1/(2t^2))cos(t^2)dx
≧ ∫[0,√(π/2)]sin(t^2)dx
＞ 0
したがって、
∫[0,∞]cos(t^2)dx = ∫[0,∞]sin(t^2)dx = √(π/8)
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