- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/01(金) 15:01:52 ]
- >>279
「面積最大となる理由」の部分を真面目にやると、結構面倒だな。
いくつかの補題を示して、可能性を絞り込む。
以下、正三角形は長方形の内部（周を含む）に含まれるものとする。
１）正三角形の３つの頂点のうち２つ以上が長方形の周上にないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す
２）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にはなく、互いに向かい合う辺上にもないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３頂点とも周上にない正三角形になる
３）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の互いに向かい合う辺上にあり、さらにそのうち少なくとも１つは長方形の頂点と一致するとき、その正三角形は面積最大ではない。
→長方形の頂点と一致する頂点を軸に回転すると、２頂点が周上にない正三角形となる
４）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つが長方形の互いに向かい合う辺上にあるとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に
５）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にあり、さらにその２つのうちの少なくとも１つは長方形の頂点と一致しないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す
６）正三角形の３つの頂点がいずれも長方形の周上にあり、なおかつ長方形の頂点とは一致せず、さらにそのうちどの２つをとっても長方形の同一の辺上にはないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に
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