- 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 01:37:41 ]
- >>686 >>688
考える2n次交代行列を A とする．
(1) A が正則でない場合．
奇数次の交代行列は非正則なので，Aのランクは2n-2以下．
よってAの列ベクトルをa_1, ..., a_nとしたとき，
n-1本のベクトル (a_1-a_2), (a_1-a_3), ..., (a_1-a_n) は線型従属．
A の各成分に定数が加わっても，上の線型従属の関係は不変なので，
A の各成分に定数を加えた行列も非正則となり，det = 0 で題意が従う．
(2) A が正則の場合．
次の(2n+1)次行列 X を考える：
X = |b e^T|
|e A |
ただし b は零でない定数であり，e = (1, ..., 1) である．
この X を二通りに基本変形することで，次の行列式に関する等式を得る：
det(X) = b det(A - e e^T/b) = (b - e^T A^{-1} e) det(A)
左辺について，A - e e^T/b は A の各成分から 1/b を引いた行列である．
右辺について，交代行列の逆行列も交代行列なので e^T A^{-1} e = 0 である．
これらを踏まえて上式を整理すると，
det(A のすべての成分から1/bを引いた行列) = det(A)
となり，題意が従う．
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