- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:17:40 ]
- >>262
やっぱり解けないんだｗ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:20:53 ]
- >>263
マジ解けないわー
馬鹿にも分かるよう解説よろしく！
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:23:37 ]
- >>263
俺も分かんないから解説よろ
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:24:19 ]
- お前ら低能のために何で俺様が労力使うんだよ
指図すんなクズども
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:24:56 ]
- もうちょっと難しい問題ないの～？
これでは暇潰しにもならない。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:25:53 ]
- 高校生レベルじゃ加算無限個の確率変数すら扱わないんだぜ？
あとだれでもいいから>>159の答えを教えてくれよ
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:26:10 ]
- ただの自己満だろ
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:26:18 ]
- >>265
解けないからってすねるなよｗ
- 271 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 23:29:57 ]
- いや、これ、そもそも、俺が友達から出題されて散々悩んだ末にわからず、
ある掲示板（２チャンではない）で質問したら、それはもう、鮮やかとしか言いようがない解答が返ってきたわけです。
もう感動しましたね。ノーヒントで正解できる人は天才ですよ。
もうヒントは書いちゃいましたけど。
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:31:43 ]
- ぬるぽ
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:34:52 ]
- 煽れば誰か解いてくれると思ったの？
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:38:00 ]
- 2/3とか言い出したら笑っちゃうな
- 275 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 23:50:40 ]
- >>274 2/3で合ってるけど、どうやって解いたの？
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:50:50 ]
- detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1417466819
- 277 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 00:11:18 ]
- あちゃー、見つけられちゃったかw
それにしても鮮やかでしょ。
まあ、こんな正解出せる人は、滅多にいないよね。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 00:15:29 ]
- あ、それ俺だわ
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 00:38:04 ]
- たしかに立方体内の任意の点を選ぶということで
一様分布に従っているしなんとかなったっぽいな
その後の証明におれの中では議論の余地あり
これが実数２つなら、実数４つなら…実数ｎ個なら確率変数は？
この問題って一般化されてるの？ちょっと興味あるんだけど
- 280 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 07:47:17 ]
- 実数２つなら、２次元（正方形）で考えればいい。問題は４つ以上の場合ですね。俺には手に負えない。
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 07:54:49 ]
- で、高校の範囲内のなの？
一様分布とか高校でやるっけ？
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 08:04:33 ]
- >>253は何を言われてるか分かってない大馬鹿
工房か？
大学生だったらＦラン
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 08:12:41 ]
- エレメンタリーで面白い良問でも高校範囲外だったりするよな
で、そういうのを知って高校向け問題として出題して喜んでるのが>>251
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 08:34:05 ]
- 他人の解答で得意満面の>>277は当スレの空気にふさわしくない
- 285 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 08:49:32 ]
- nを2以上の整数とする。整数Mを
M=2^(n-1)*(2^n-1)と定義したとき以下の問いに答えよ。
(1)2^n-1が素数のとき、MのM以外の正の約数の和はMに等しいことを示せ
(2)Mの1の位の数を求めよ
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 09:15:48 ]
- 確率の勉強やり直せや厨房
- 287 名前：月読 [2008/07/12(土) 09:20:18 ]
-
- 288 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 11:12:26 ]
- M=2^(n-1)*(2^n-1)=2^2n-2=(2^2n)/4
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 11:15:08 ]
- >>285
メルセンヌ素数？
- 290 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 11:42:15 ]
- 2^n-1が素数のとき?
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 11:48:49 ]
- n=2なら2^n-1=3で素数か
- 292 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 12:42:17 ]
- M=2^(n-1)*(2^n-1)
1,2,...2^((n-1)(2^n-1)-1)
(2^(n-1)(2^n-1)-1)/(2-1)=M-1
- 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 12:44:58 ]
- 2,4,8,6,2,...
(n-1)*(2^n-1) mod 4
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 12:51:12 ]
- 空気嫁
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 14:20:22 ]
- f(x)=-a(xｰb)^3+b
x[n]=f(x[nｰ1])と定める。
ただし、x[0]=0,n=1,2,3…
このとき数列{xn}が収束する事を示しlim[n→∞]x[n]を求めよ。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 14:28:48 ]
- てめー死にたいのか？
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 14:31:41 ]
- さて、本当に示せるのかな？
京大の過去問ですよ
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 15:54:09 ]
- a,bの条件は？
- 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 17:07:50 ]
- x=-a(x-b)^3+b
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 21:45:39 ]
- 0＜a≦1,0＜b＜1
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 21:55:32 ]
- x-b=-a(x-b)^3
(x-b)=+/-(1/a)^.5
x=b+/-(1/a)^.5
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 22:09:35 ]
- ^.5
- 303 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 22:36:52 ]
- f(x)=-a(xｰb)^3+b
f^2=-a(-a(xｰb)^3+b-b)^3+b=a^4(x-b)^9+b
f^3=-a^13(x-b)^27+b
f^n=(-a)^((3^n-1)/2)(x-b)^3^n+b)
f->b,x-b=+/-(1/a)^.5->f->+/-1/a^.5+b
- 304 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 22:38:32 ]
- f^n=(-a)^((3^n-1)/2)(x-b)^3^n)+b
- 305 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 22:57:30 ]
- f(n)=f(n-1)+n^-s
log(f-f)=-slogn
Σlog(f-f)=-sΣlogn
log(fn-fn-1)(fn-1-fn-2)...=-slog(n(n+1)/2)
(fn-fn-1)(fn-1-fn-2)...=(n(n+1)/2)^-s
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:01:19 ]
- (1/n^s)(1/(n-1)^s)...(1/2^s)=(n(n+1)/2)^-s
- 307 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:09:57 ]
- f(n)x^n=xf(n-1)x^(n-1)+n^-sx^n
g-f0=xg+Σn^-sx^n
f0=0^-s=0
g=（Σn^-sx^n）/(1-x)
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:12:25 ]
- d^s(1-x)g=Σx^n=1/(1-x)
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:16:09 ]
- d^sg-d^sxg=1/(1-x)
g~s-xg~s+g~(s-1)=(1-x)^-1
g~s+(1-x)g~(s-1)=1
- 310 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:23:10 ]
- g"+(1-x)g'=1
g=anx^n
n(n-1)anx^(n-2)+(1-x)nanx^(n-1)=1
-nanx^n+nanx^(n-1)+n(n-1)anx^(n-2)=1
-nan+(n+1)an+1+(n+2)(n+1)an+2=0
- 311 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:31:08 ]
- 2a2+a1=1
2a2=1-a1
-a1+2a2+4*3a3=0
a3=(2a1-1)/12
- 312 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:36:00 ]
- >>295
lim[n→∞]x[n]＝αと仮定
α＝-a(αｰb)^3+b
(α-b){a(α-b)^2+1}=0
よってα＝b
次に
|xn-b|≦bを示す。
n=1のときx[1]=ab^3より成立
n=kのとき成り立つと仮定すると
|x[k+1]-b|＝|-a(x[k]ｰb)^3|
＝a|(x[k]ｰb)^3|
≦ab^3≦ｂ
よってすべての自然数で|xn-b|≦bは成立。
次に、
|xn-b|＝a(x[n-1]ｰb)^2|x[n-1]-b|
≦ab^2|x[n-1]-b|
≦(ab^2)^(n)|x[0]-b|
0＜a≦1,0＜b＜1 よりｎ→∞のとき
(ab^2)^(n)→０
よってlim[n→∞]|x[n]-b|＝０
よってlim[n→∞]x[n]＝ｂ
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:51:47 ]
- 収束はたとえばxn/x(n-1)<1を示すか、グラフから収束点は３個ある。
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/13(日) 00:50:23 ]
- ＞＞グラフから収束点は３個ある
どんなグラフ書いたんだよｗ
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 01:38:39 ]
- 今年の東工大の整数の問題みたいに解いてて感動するような問題が見たい
大学への数学みたら難度Ｄだったしこのスレ住人に期待したい
あがってる問題で解かれてないのはないんだよね？
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 15:55:52 ]
- >>315
＞東工大の整数の問題
どんな問題？
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 20:20:50 ]
- πの２００８番目の数をあてなさい。
- 318 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 20:23:15 ]
- ｅで２３４７０１が出るのは何桁目？
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 21:35:38 ]
- πの2008番目の数って何だよ。
πは数列じゃねーよ。日本語で書け。
- 320 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 21:54:19 ]
- πが循環小数でないことを証明しなさい。１０点
- 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 22:09:49 ]
- www.ericr.nl/wondrous/
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:22:33 ]
- >>295
y[n] = log|b-x[n]| + (1/2)log|a| とおくと、
y[n] = 3*y[n-1] = ･･･ = (3^n)*y[0] → -∞
x[n] → b.
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:25:54 ]
- >>320
偽、反例はπを3と定義した場合
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:34:23 ]
- 意味が分からん。
ただし π＞3.14 という不等式を証明無しに使ってよい、
と書いてあったら、このπは 3.5 を表す文字かもしれないから
この但し書きには意味が無い、とか言い出すのかね。
或いは∑_{n=1}^{n=k} n^4 を求めよ、 という問題に
この∑が総積記号であるとすると、
∑_{n=1}^{n=k} n^4 = (k!)^4
という解答が妥当だとするのか。
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:45:07 ]
- >>315
今年の東工大の整数問題って今見たが、ないじゃん。後期含めて。
前期
1 指数関数
2 極限
3 確率、不等式
4 図形と方程式
後期
1 不等式
2 積分
一応去年の東工大ＡＯを見てみると、2に整数問題がある
nを自然数、P(x)をn次多項式とする。P(0)、P(1)、・・・、P(n)が整数ならば、すべての整数ｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
個人的には今年実施された東大数学の差し替え問題を見たいもんだ。雪の影響で追試験という形で実施されたやつね。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:50:36 ]
- >>325
ごめん
後期の不等式の問題のことだ
逆だったらすごく簡単なんだけどなぁって思いながら解いてた
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:52:23 ]
- >>325
> nを自然数、P(x)をn次多項式とする。P(0)、P(1)、・・・、P(n)が整数ならば、すべての整数ｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
これって、そんなに難しくないんじゃない？
例えば n に関する帰納法で簡単にできちゃうし、結果も特に面白くないし。
だから >>315 の言う問題とは違うんだろうな～。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:53:35 ]
- あぁ、やっぱり違うのか。
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:55:27 ]
- >>325
その問題って有名問題じゃなかったっけ。
以前のどっかの過去問にもあった。東工大じゃなかったかな？
そんなのAOに出すのか。AOで受かる奴は馬鹿だと言われる訳だ。
まあバカでも入学できる方法を選択するのは賢いけどね。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:04:20 ]
- >>329
過去に出題されてると、東工大のwikiだったかで見た記憶がある。
なんでも1993当時、あまりにも出来が悪かったから出したのだとかどうとか。内部の人間の情報らしいけど、ネット情報なんで真偽はわからん。
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=173480
でもあるけど群馬大にも出題されてる模様
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:32:25 ]
- その東工大の問題、青空教室で見た覚えが
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 00:25:50 ]
- あんな有名問題を出す時点で終わってるよね
作問者は見識がないんだろう
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 02:01:22 ]
- いや、その作問者が最初に作って出題して有名になったのかも知れない。
たしか初出は東工大だったような気がする。
だから思い入れが在り過ぎてついつい出しちゃうとかｗ
いずれにせよダメだが。
- 334 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/15(火) 02:03:37 ]
- 知ってたら難易度B***
知らなかったら難易度D******
こんなことあっていいはずがない
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/15(火) 03:32:40 ]
- 平面幾何
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1215965670/
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/07/15(火) 21:50:13 ]
- >>320
2003年の阪大の後期で出ました。
- 337 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 06:38:43 ]
- たいていの難問も逆手にとればすぐできる。
全部カウントしなきゃいけないやつは、力問とよんであげて。
- 338 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 06:47:20 ]
- aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.html#
＞３３６はこれのパクリだな・・・
- 339 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 07:19:49 ]
- 難問の分類
１ 力技
２ すぐとける
３ 問題文の日本語が難解
４ 時間が足りない
５ 答えが間違ってる
- 340 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 07:28:49 ]
- すべての整数は２つの素数でかける １０点
- 341 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 07:30:13 ]
- ６ まだだれも解けない
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 07:57:48 ]
- 3a 問題文がうろ覚え
くそたわけが
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 17:17:42 ]
- >>338
大阪大学の方が先じゃないの？
そのサイトも、ここでは大阪大学の問題とは少し違った設定で
やってみた、とか書いてあるけど。
というか、そもそも全部Nivenのパクリだ。
>>340
たとえば57は5と7の二つだけを使って書ける、とかそういうことですね。なるほど。
- 344 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 22:02:14 ]
- en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
これか・・・
来年はπが超越数の証明が出るのだろうか・・・
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 22:07:59 ]
- πの超越性の証明はそんなに難しくはないが、高校の範囲でできるのか？
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 22:44:39 ]
- nombrejador.free.fr/article/lindemann-weierstrass_ttj.htm
- 347 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:06:29 ]
- an,bnが代数的数で線形独立なら、ane^bnも線形独立、Σane^bn=0にならない。
e^iπ+1=0(線形従属）ー＞iπは超越数,iは代数的数だからπは超越数
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:11:02 ]
- >>345
代数学やってなきゃできないぞってか高校生は超越数の定義を知らないんじゃないのか？
解析的手法を使っても証明できるが高校の範囲では誘導やら定義やらを丁寧にしなきゃ無理だな
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:17:09 ]
- eが整数係数多項式の根にならないことは高校の内容で示せるな
出題するなら誘導が必要だが、入試に適してるとは思えないな
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:36:03 ]
- 定義
α∈CでαがQ上代数的であるときαを代数的数という
定義
上記定義のCの元で代数的数でないものを超越数という
定理
Fを体とすると、Fの代数的閉包が存在し、Fの代数的閉包は全てF上同型である
これだけあれば今の学習意欲ある高校生には十分か
>>346
Hermiteの不等式を使っていいというならこれ誘導つけてπが超越数であるという問題出すのもありだな
- 351 名前：159 mailto:sage [2008/07/19(土) 04:49:54 ]
- 前回ズタボロのおれだが、お前らの連休のためにとっておきの問題を用意してきた
n≧3を満たす任意の整数nに対して、次の合同式を満たす自然数x,y,zが無限に存在することを示せ
x^n+y^n≡z^n (mod n)
5分で解けてしまうので、次が本題
n≧3を満たす任意の整数nに対して、
次の合同式と条件を満たす自然数x,y,zが無限に存在するか否か。
存在しなければ反例をあげよ
x^n+y^n≡z^n (mod n^n)
条件：x,y,zはnとは互いに素である。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 06:59:38 ]
- >>351
合同式なんだから、一組の解があれば無限組の解があるのは自明でしょ
gcd(x,3)=1 なら、x^3≡±1 (mod 9) だから、
n=3 のとき２問目の解は存在しない
- 353 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/19(土) 07:47:04 ]
- つまんねー
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 12:39:27 ]
- >>352
n=3のときってmod9じゃなくてmod27じゃね？
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 13:49:19 ]
- mod 9 で等しくないならmod 27 でも等しくないような。
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 13:56:00 ]
- そういえば159も誰も解けなかったんだよね
難易度的にはどうなの？難しいの？
「このスレでおれができない問題は難しい」という命題は成立するの？
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 16:49:17 ]
- > 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
> 解ける問題を考えてうぷするスレ。
> これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
> 関連スレへどうぞ
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 16:52:22 ]
- >>351
こうしたほうが良くね？
次を満たす非負整数 n, x, y, z の組が存在しないことを証明せよ
n≧2,
gcd(x,n) = gcd(y,n) = gcd(z,n) = 1,
x^n + y^n = z^n (mod n^n)
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 16:53:46 ]
- × 非負整数
○ 正整数
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 17:08:00 ]
- >>358
n=2の場合って二つの奇数の2乗の和がある奇数の2乗になるかって問題だと思うが、
これって存在しないんだっけか？以前どっかでやったことあるような気もする
合同式だと4で割った余りが限られているんで簡単になる
- 361 名前：358 mailto:sage [2008/07/19(土) 18:30:19 ]
- 存在した
1^7 + 2^7 ≡ 62478^7 (mod 7^7)
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 19:05:18 ]
- >>361
これは…ゴールドバッハ予想を自作のアルゴリズムで反例見つけようと頑張った
ハーバード大学のあの学生を彷彿とさせるな
どうやって求めたの？答えあってるのか？電卓使ったら+e33とか出てわからん
とりあえずGJ！
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 19:31:05 ]
- >>362
1^7+2^7≡3^7 (mod 7^3)
が見つかったから
7^4 | {(7a+3)^7-(1^7+2^7)} となる a を求めて…
とかやると求まる
62478^7 ≡ (62478^3 mod 7^7) * (62478^4 mod 7^7)
とすれば Windows の電卓でも計算できるよ
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