- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 20:36:53 ]
- >>232
ああん？馬鹿か？
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 21:01:59 ]
- >>236
ああん？馬鹿か？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 22:46:44 ]
- >>231
Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
(左辺)/(右辺) = {2^(2n)}/{(2√n)C[2n,n]} = a[n]
とおく。
a[1] =1,
a[n]/a[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] * √{(n-1)/n}
= √{(n-1)n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
= √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
<1.
なお、
(√π)/2 < a[n] ≦ 1.
- 240 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 23:14:56 ]
- コンビネーションnCm=n!/{(m!)(n-m)!}の和は
nC0+nC1+nC2+･･･+nCn=2^nとかけることが知られている。
パーミテーションnPm=n!/(n-m)!の和
nP0+nP1+nP2･･･nPnをnの式で表せ。
ただし、nは自然数であり必要ならばガウス記号を使ってもよい。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 23:16:51 ]
- シグマ記号も使っていいっすか？
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 23:19:01 ]
- パスカルの三角形でググルといいことあるかもね
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 23:20:05 ]
- そもそも表せるのか？
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 23:21:00 ]
- nが偶数のときと奇数のときで場合わけだろ
ガウス記号使えばひとつにまとめられるってことだろ
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 23:24:12 ]
- nP0+nP1+nP2･･･nPn
=0!*nC0+1!*nC1+2!*nC2+･･･+n!*nCn
だから適当な多項式を見つけて展開、微分すりゃできそう
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 23:32:36 ]
- nC0・nC1 + nC1・nC2 + nC2・nC3 + ・・・ + nC(n-1)・nCn= (2n)C(n-1)
(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2＋・・・＋(nCn)^2=2nＣn
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 23:38:41 ]
- n!Σ[k=0,n]1/(n-k)!=n!Σ[k=0,n]1/k!
- 248 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/10(木) 02:08:57 ]
- (1)3nC0+3nC3+3nC6+…+3nC3nを求めよ
(2)4nC0+4nC4+4nC8+…+4nC4nを求めよ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 12:32:19 ]
- >>248
(1)
(与式)={(1+1)^3n+(1+ω)^3n+(1+ω^2)^3n}/3
={8^n+2*(-1)^n}/3
(2)
(与式)={(1+1)^4n+(1+i)^4n+(1-1)^4n+(1-i)^4n}/4
={16^n+2*(-4)^n}/4
- 250 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 21:41:38 ]
- 1からnまで1つずつ書かれたn枚の札をよく混ぜてから1列に並べ、1枚目をとる。
次に2枚目をとり、その札が1枚目より大きいとき札を入れ替える。
順にn枚目の札までとり,手にしている札よりもそれが大きな数であるなら手の札と入れ替える。
入れ替え回数の期待値を求めよ。
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 21:51:42 ]
- ３個の実数をランダムに選び、それぞれの小数点以下を四捨五入した後、合計した値と、そのまま合計した後、四捨五入した値が一致する確率を求めよ。
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 21:52:40 ]
- 実数をどう選ぶんっすか？
- 253 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 21:56:10 ]
- 訂正
３個の実数をランダム（適当）に選び、それぞれの小数点以下を四捨五入した後、合計した値と、そのまま合計した後、小数点以下を四捨五入した値が一致する確率を求めよ。
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 21:59:54 ]
- 分かってないな
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 22:10:30 ]
- >>253は目の醒めるような鮮やかな解法がありますよ。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 22:18:16 ]
- 実数をどう選ぶんっすか？
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 22:24:52 ]
- >>256
恐らく実数xに対してxの小数部分の分布関数は[0,1)の一様分布に従うってことじゃね？
でもそうすると連続濃度の確率は高校範囲外なんだよね
>>253ではこのことに何らの言及がない
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 22:27:05 ]
- (2.7 15.196 -3.842)
(√2 π 4.896)
など、とにかくテキトーに
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 22:51:24 ]
- 一様分布に従うこともかかれてないし
何らかの連続型確率密度関数を駆使して
自分で実験的に解けということなのか？
問題文の解説を求む
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 22:57:39 ]
- 無論、ランダムに選ぶ以上、一様分布に従う。
キーワードは、立方体および体積
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 23:12:30 ]
- 解けないからって屁理屈ばっかこねてんなよ低能ども
- 262 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 23:15:44 ]
- >>261
何？じゃあお前解けよ
期待してるぜ☆
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:17:40 ]
- >>262
やっぱり解けないんだｗ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:20:53 ]
- >>263
マジ解けないわー
馬鹿にも分かるよう解説よろしく！
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:23:37 ]
- >>263
俺も分かんないから解説よろ
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:24:19 ]
- お前ら低能のために何で俺様が労力使うんだよ
指図すんなクズども
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:24:56 ]
- もうちょっと難しい問題ないの～？
これでは暇潰しにもならない。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:25:53 ]
- 高校生レベルじゃ加算無限個の確率変数すら扱わないんだぜ？
あとだれでもいいから>>159の答えを教えてくれよ
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:26:10 ]
- ただの自己満だろ
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:26:18 ]
- >>265
解けないからってすねるなよｗ
- 271 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 23:29:57 ]
- いや、これ、そもそも、俺が友達から出題されて散々悩んだ末にわからず、
ある掲示板（２チャンではない）で質問したら、それはもう、鮮やかとしか言いようがない解答が返ってきたわけです。
もう感動しましたね。ノーヒントで正解できる人は天才ですよ。
もうヒントは書いちゃいましたけど。
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:31:43 ]
- ぬるぽ
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:34:52 ]
- 煽れば誰か解いてくれると思ったの？
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:38:00 ]
- 2/3とか言い出したら笑っちゃうな
- 275 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/11(金) 23:50:40 ]
- >>274 2/3で合ってるけど、どうやって解いたの？
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 23:50:50 ]
- detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1417466819
- 277 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 00:11:18 ]
- あちゃー、見つけられちゃったかw
それにしても鮮やかでしょ。
まあ、こんな正解出せる人は、滅多にいないよね。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 00:15:29 ]
- あ、それ俺だわ
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 00:38:04 ]
- たしかに立方体内の任意の点を選ぶということで
一様分布に従っているしなんとかなったっぽいな
その後の証明におれの中では議論の余地あり
これが実数２つなら、実数４つなら…実数ｎ個なら確率変数は？
この問題って一般化されてるの？ちょっと興味あるんだけど
- 280 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 07:47:17 ]
- 実数２つなら、２次元（正方形）で考えればいい。問題は４つ以上の場合ですね。俺には手に負えない。
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 07:54:49 ]
- で、高校の範囲内のなの？
一様分布とか高校でやるっけ？
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 08:04:33 ]
- >>253は何を言われてるか分かってない大馬鹿
工房か？
大学生だったらＦラン
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 08:12:41 ]
- エレメンタリーで面白い良問でも高校範囲外だったりするよな
で、そういうのを知って高校向け問題として出題して喜んでるのが>>251
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 08:34:05 ]
- 他人の解答で得意満面の>>277は当スレの空気にふさわしくない
- 285 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 08:49:32 ]
- nを2以上の整数とする。整数Mを
M=2^(n-1)*(2^n-1)と定義したとき以下の問いに答えよ。
(1)2^n-1が素数のとき、MのM以外の正の約数の和はMに等しいことを示せ
(2)Mの1の位の数を求めよ
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 09:15:48 ]
- 確率の勉強やり直せや厨房
- 287 名前：月読 [2008/07/12(土) 09:20:18 ]
-
- 288 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 11:12:26 ]
- M=2^(n-1)*(2^n-1)=2^2n-2=(2^2n)/4
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 11:15:08 ]
- >>285
メルセンヌ素数？
- 290 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 11:42:15 ]
- 2^n-1が素数のとき?
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 11:48:49 ]
- n=2なら2^n-1=3で素数か
- 292 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 12:42:17 ]
- M=2^(n-1)*(2^n-1)
1,2,...2^((n-1)(2^n-1)-1)
(2^(n-1)(2^n-1)-1)/(2-1)=M-1
- 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 12:44:58 ]
- 2,4,8,6,2,...
(n-1)*(2^n-1) mod 4
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 12:51:12 ]
- 空気嫁
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 14:20:22 ]
- f(x)=-a(xｰb)^3+b
x[n]=f(x[nｰ1])と定める。
ただし、x[0]=0,n=1,2,3…
このとき数列{xn}が収束する事を示しlim[n→∞]x[n]を求めよ。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 14:28:48 ]
- てめー死にたいのか？
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 14:31:41 ]
- さて、本当に示せるのかな？
京大の過去問ですよ
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 15:54:09 ]
- a,bの条件は？
- 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 17:07:50 ]
- x=-a(x-b)^3+b
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 21:45:39 ]
- 0＜a≦1,0＜b＜1
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 21:55:32 ]
- x-b=-a(x-b)^3
(x-b)=+/-(1/a)^.5
x=b+/-(1/a)^.5
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/12(土) 22:09:35 ]
- ^.5
- 303 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 22:36:52 ]
- f(x)=-a(xｰb)^3+b
f^2=-a(-a(xｰb)^3+b-b)^3+b=a^4(x-b)^9+b
f^3=-a^13(x-b)^27+b
f^n=(-a)^((3^n-1)/2)(x-b)^3^n+b)
f->b,x-b=+/-(1/a)^.5->f->+/-1/a^.5+b
- 304 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 22:38:32 ]
- f^n=(-a)^((3^n-1)/2)(x-b)^3^n)+b
- 305 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 22:57:30 ]
- f(n)=f(n-1)+n^-s
log(f-f)=-slogn
Σlog(f-f)=-sΣlogn
log(fn-fn-1)(fn-1-fn-2)...=-slog(n(n+1)/2)
(fn-fn-1)(fn-1-fn-2)...=(n(n+1)/2)^-s
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:01:19 ]
- (1/n^s)(1/(n-1)^s)...(1/2^s)=(n(n+1)/2)^-s
- 307 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:09:57 ]
- f(n)x^n=xf(n-1)x^(n-1)+n^-sx^n
g-f0=xg+Σn^-sx^n
f0=0^-s=0
g=（Σn^-sx^n）/(1-x)
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:12:25 ]
- d^s(1-x)g=Σx^n=1/(1-x)
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:16:09 ]
- d^sg-d^sxg=1/(1-x)
g~s-xg~s+g~(s-1)=(1-x)^-1
g~s+(1-x)g~(s-1)=1
- 310 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:23:10 ]
- g"+(1-x)g'=1
g=anx^n
n(n-1)anx^(n-2)+(1-x)nanx^(n-1)=1
-nanx^n+nanx^(n-1)+n(n-1)anx^(n-2)=1
-nan+(n+1)an+1+(n+2)(n+1)an+2=0
- 311 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:31:08 ]
- 2a2+a1=1
2a2=1-a1
-a1+2a2+4*3a3=0
a3=(2a1-1)/12
- 312 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:36:00 ]
- >>295
lim[n→∞]x[n]＝αと仮定
α＝-a(αｰb)^3+b
(α-b){a(α-b)^2+1}=0
よってα＝b
次に
|xn-b|≦bを示す。
n=1のときx[1]=ab^3より成立
n=kのとき成り立つと仮定すると
|x[k+1]-b|＝|-a(x[k]ｰb)^3|
＝a|(x[k]ｰb)^3|
≦ab^3≦ｂ
よってすべての自然数で|xn-b|≦bは成立。
次に、
|xn-b|＝a(x[n-1]ｰb)^2|x[n-1]-b|
≦ab^2|x[n-1]-b|
≦(ab^2)^(n)|x[0]-b|
0＜a≦1,0＜b＜1 よりｎ→∞のとき
(ab^2)^(n)→０
よってlim[n→∞]|x[n]-b|＝０
よってlim[n→∞]x[n]＝ｂ
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 23:51:47 ]
- 収束はたとえばxn/x(n-1)<1を示すか、グラフから収束点は３個ある。
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/13(日) 00:50:23 ]
- ＞＞グラフから収束点は３個ある
どんなグラフ書いたんだよｗ
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 01:38:39 ]
- 今年の東工大の整数の問題みたいに解いてて感動するような問題が見たい
大学への数学みたら難度Ｄだったしこのスレ住人に期待したい
あがってる問題で解かれてないのはないんだよね？
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 15:55:52 ]
- >>315
＞東工大の整数の問題
どんな問題？
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 20:20:50 ]
- πの２００８番目の数をあてなさい。
- 318 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 20:23:15 ]
- ｅで２３４７０１が出るのは何桁目？
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 21:35:38 ]
- πの2008番目の数って何だよ。
πは数列じゃねーよ。日本語で書け。
- 320 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 21:54:19 ]
- πが循環小数でないことを証明しなさい。１０点
- 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/14(月) 22:09:49 ]
- www.ericr.nl/wondrous/
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:22:33 ]
- >>295
y[n] = log|b-x[n]| + (1/2)log|a| とおくと、
y[n] = 3*y[n-1] = ･･･ = (3^n)*y[0] → -∞
x[n] → b.
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:25:54 ]
- >>320
偽、反例はπを3と定義した場合
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:34:23 ]
- 意味が分からん。
ただし π＞3.14 という不等式を証明無しに使ってよい、
と書いてあったら、このπは 3.5 を表す文字かもしれないから
この但し書きには意味が無い、とか言い出すのかね。
或いは∑_{n=1}^{n=k} n^4 を求めよ、 という問題に
この∑が総積記号であるとすると、
∑_{n=1}^{n=k} n^4 = (k!)^4
という解答が妥当だとするのか。
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:45:07 ]
- >>315
今年の東工大の整数問題って今見たが、ないじゃん。後期含めて。
前期
1 指数関数
2 極限
3 確率、不等式
4 図形と方程式
後期
1 不等式
2 積分
一応去年の東工大ＡＯを見てみると、2に整数問題がある
nを自然数、P(x)をn次多項式とする。P(0)、P(1)、・・・、P(n)が整数ならば、すべての整数ｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
個人的には今年実施された東大数学の差し替え問題を見たいもんだ。雪の影響で追試験という形で実施されたやつね。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:50:36 ]
- >>325
ごめん
後期の不等式の問題のことだ
逆だったらすごく簡単なんだけどなぁって思いながら解いてた
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:52:23 ]
- >>325
> nを自然数、P(x)をn次多項式とする。P(0)、P(1)、・・・、P(n)が整数ならば、すべての整数ｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
これって、そんなに難しくないんじゃない？
例えば n に関する帰納法で簡単にできちゃうし、結果も特に面白くないし。
だから >>315 の言う問題とは違うんだろうな～。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:53:35 ]
- あぁ、やっぱり違うのか。
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:55:27 ]
- >>325
その問題って有名問題じゃなかったっけ。
以前のどっかの過去問にもあった。東工大じゃなかったかな？
そんなのAOに出すのか。AOで受かる奴は馬鹿だと言われる訳だ。
まあバカでも入学できる方法を選択するのは賢いけどね。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:04:20 ]
- >>329
過去に出題されてると、東工大のwikiだったかで見た記憶がある。
なんでも1993当時、あまりにも出来が悪かったから出したのだとかどうとか。内部の人間の情報らしいけど、ネット情報なんで真偽はわからん。
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=173480
でもあるけど群馬大にも出題されてる模様
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:32:25 ]
- その東工大の問題、青空教室で見た覚えが
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 00:25:50 ]
- あんな有名問題を出す時点で終わってるよね
作問者は見識がないんだろう
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 02:01:22 ]
- いや、その作問者が最初に作って出題して有名になったのかも知れない。
たしか初出は東工大だったような気がする。
だから思い入れが在り過ぎてついつい出しちゃうとかｗ
いずれにせよダメだが。
- 334 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/15(火) 02:03:37 ]
- 知ってたら難易度B***
知らなかったら難易度D******
こんなことあっていいはずがない
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/15(火) 03:32:40 ]
- 平面幾何
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1215965670/
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/07/15(火) 21:50:13 ]
- >>320
2003年の阪大の後期で出ました。
- 337 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 06:38:43 ]
- たいていの難問も逆手にとればすぐできる。
全部カウントしなきゃいけないやつは、力問とよんであげて。
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