- 1 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/02(金) 21:53:23 ]
- 面白い問題、教えてください
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/06(土) 15:34:23 ]
- (1)
半径1の円を9個並べて、正方形に収めたい。
正方形の1辺の長さは6よりも小さくする事は出来ない事を証明せよ。
(2)
半径1の円をn個並べて正方形に収める時、正方形の1辺の長さの上限を与える式を作れ。
ただしnは十分に大きいものとする。
- 936 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/09(火) 16:20:46 ]
- >>814
なぜ３，４じゃいけないんだぁあ！
誰か３，４が否定される理由を詳しくおしえて〜な
- 937 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/09(火) 16:42:25 ]
- >>936
おそらくの範疇で聞いてほしい。
Ｂは「あなたにも分からないと思ってましたよ」と言った。
もし、答えが３，４だとしたらＢに伝えられた自然数は７になる。
７から推測される２数は、２，５と３，４の二通りだ。
それらからＡに言い渡された自然数が１０か１２と推定できる。
もし１０だとしたらＡは答えを唯一２，５と判断できる。
それをＢは知ることができるから、Ａが分からないとは断言できない。
つまり「あなたにも分からないと思ってましたよ」という発言に反するのだ。
と、思うのだが……
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/09(火) 17:59:02 ]
- >>937
そのとおり。
>>936
納得した？
- 939 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/09(火) 18:52:43 ]
- Ａｈ〜！
Ｏｈ！Ｙｅｓ！
Ｉ ｗａｓ ｗｒｏｎｇ！
ＴＨＡＮＫＳ！
ＨＡＨＡＨＡＨＡＨＡ！
- 940 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/09(火) 21:58:11 ]
- まって
やっぱさ
和を聞いた奴が７をきいていたとすると
２，５ ３，４
の二通りの持論をもっていったことになる
あったとき初めて
二数の組み合わせは互いに素の関係
ということがわかるから
やっぱ３，４でも題意成立だとおもっちゃたりしちゃりしちゃうんだが
- 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/09(火) 22:33:43 ]
- >>940
＞ 二数の組み合わせは互いに素の関係
そんなことはわかっていないが？
こちらで考える可能性「２，５」と「３，４」のうち
もし正解が「２，５」だったら、それは２つ共素数なので
相手はたちどころにわかってしまう。
だから相手の意見を聞く前から「あなたもわからない」とは思えないんだよ。
「もしかしたら、あいては即座に答えてしまうかなあ」と思うしかない。
さらに、相手が即座に答えられなければ、正解は「２，５」ではないのだから
「３，４」に決まってしまう。
だから、Aが最初にわからないといった後に
Bは「そうでしょうね…」とは言わず
「なるほどそれを聞いて、私にはわかりました。」と言う。
そしてAは「まいりました、わたしにはやっぱりわかりません」と答える。
Bがわかったときいても最初に「１２」と聞かされたAは 「２，６」なのか「３，４」なのかはわからないからだ。
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/09(火) 22:42:37 ]
- 「３，４が正解だった場合は頭のいい二人が交わした会話はこうだったかもしれない。
A 「まいりました。
わたしがわからないと言ったとたんあなたはわかったというんでしょうね。
しかしそれでもわたしにはあなたの答を聞くまでわからない」
B 「そうなんです。
しかしわたしも、あなたがわからないというまでは
いきなりわかったといわれてしまうのではないかとひやひやしてたことも
わかっているんでしょう？」
- 943 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/09(火) 22:46:53 ]
- つまり
３，４
だったら
Ａがわからないちゅうことですか？
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/09(火) 22:52:26 ]
- 積は12
A「私には元の二つが何か分かりません。」
和は7
B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」←この時点でBは答えが分かる
A「ほほう、ならば分かりました。」
B「そうですか、それならば私にも分かりました。」 ←故にこれはおかしい
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/10(水) 10:57:36 ]
- >>944
積は12
A「私には元の二つが何か分かりません。」
和は7
B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」←この時点でBは答えが分かる
A「ほほう、ならば分かりました。」 ←これもおかしい、ここではAはわからない
B「そうですか、それならば私にも分かりました。」 ←故にこれはおかしい
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 01:47:25 ]
- 元の二数をx,y(x≦y)とする
Aの初めの発言から、xとyのすくなくとも一つは合成数。
また、(z,w)をx+y=z+wを満たす二以上の自然数とする。ただしz≦w
二つ目のBの発言よりともに素数となる(z,w)の組は無い。
これを素数和表示不可能数と呼ぶ。
Bが聞いた数は素数和表示不可能数に違いない。
さて、全ての素数和表示不可能数はあきらかに「奇数の合成数+2」の形をしている。
逆に奇数合成数に2を足した数は素数和表示不可能。
(∵奇数合成数に2を足した数は奇数なので、二数の和に表すと少なくとも一方の和因子は偶数になる
その偶数が4以上なら合成数だし、2なら仮定より奇数和因子が合成数)
すると40以下の範囲では素数和表示不可能数は以下の七つ。
11,17,23,27,29,35,37
三つ目のAの発言より、xy＝ab(2≦a≦b)を満たすaとbの内、a+bが上記の素数和表示不可能な数になる組は一つそしてただ一つある。
例えばAが聞いた数が30だとすると、30=5*6=2*15より、11と17の両方を作れるので、Aはこの段階でもわからないというはず。
従ってAの聞いた数は30ではない。
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 01:48:31 ]
- さて、ここでx+y=11だったとしよう。
在りうる可能性は2+9,3+8,4+7,5+6のいずれかでり
Aは18,24,28,30のどれかを聞いたはずである。
24を二数の積abに表す方法は2*12,3*8,4*6の三通りで、a+bが素数和表示不可能な数になるのは(a,b)=(3,8)のみ
しかし28を二数の積abに表す方法は2*14,4*7の二通りで(4,7)が唯一の素数和表示不可能な和を与える。
つまりAが聞いた数が24でも28でもAは「分かった」というはずであり、最後のBのセリフはありえない。
従ってx+yは11ではない。
同様に考えていくと、
x+y=17のとき：
xy∈{30,42,52,60,66,70,72}
x+y=23：
xy∈{42,60,76,90,102,112,120,126,130,132}
x+y=27:
xy∈{50,72,92,110,126,140,152,162,170,176,180,182}
x+y=29:
xy∈{54,78,100,120,138,154,168,180,190,198,204,208,210}
x+y=35：
xy∈{66,96,124,150,174,196,216,234,250,264,276,286,294,300,304,306}
x+y=37：
xy∈{70,102,132,160,186,210,232,252,270,286,300,312,322,330,336,340,342}
Aが「分かった」と言う数は、上記の各集合の内のどこかに一回だけ出てくる数である。
そこで重複して現れる数を削っていくと上から順に一番上だけが単元集合になる
(x,yがともに20以下と言う条件はAとBは知らないので厳密にはx+y=123までリストを作るべきだが
どうせこのリストの重複はそんなには起こらないので多分大丈夫)
その唯一残る数は52である。
即ちx+y=17のときにAが聞く可能性のある数たちのうち、Aが分かったと言う唯一の数が52であり、
x+yが他の値のときはそのような数は無い。
∴初めの二数は(4,13)
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/13(土) 18:40:20 ]
- >>935
まず内接円が半径1の正六角形を平面状に敷き詰める。
そのあと一つの円に注目してA1とし、A1に接する円の一つをA2とする。
A1の中心を頂点にもち、線分A1A2と辺を共有する一片xの正方形を書く。
正方形を適当な方向に距離√2だけ平行移動させ、A1と正方形が二点で接するようにする。
最後に、正方形の内部に収まらない円を消す。
以上の手続きで一片xの正方形に対して入る円をf(x)個とする。
具体的にはf(x)は以下のように考えて計算できる。
便宜上A1が正方形の左上、A2がA1の右にあるとする。
上から奇数段目には[x/2]個（ガウス記号）、偶数段目には[(x-1)/2]個の円が並び、
k段目の円の下端の高さは(√3)(k-2)+2
よって全部で[(x-2+2√3)/√3]段ある。
従って、
f(x) = Σ[k=1,[(x-2+2√3)/√3]]([x/2]((1+(-1)^(k+1))+[(x-1)/2](1+(-1)^k))/2)
以上により、与えられたnに対してf(x)≧nを満たすxの下限が可能な正方形の一辺の下限。
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