代数的整数論 009

49 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/11/25(日) 10:08:25 ] 命題 K を実数体または複素数体とする。 E を K 上の位相線形空間とする。 X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。 F(X, E) は K 上の線形空間である。 H を F(X, E) の線形部分空間とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ H に対して f(M) が有界(>>35)であれば H 上の Σ-収束の位相(>>37)により H は K 上の位相線形空間となる。 さらに E が局所凸(過去スレ008の513と593)であれば H も局所凸である。 証明 >>45 より Σ は擬有界族(>>44)と仮定してよい。 X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。 0 の平衡的な近傍全体を Ψ とおく。 M として Σ の元を動かし、V として Ψ の元を動かしたときの T(M, V) の全体を Φ とおく。 M ∈ Σ, N ∈ Σ とし V ∈ Ψ, W ∈ Ψ とする。 T(M, V) ∩ T(N, W) ⊃ T(M, V ∩ W) ∩ T(N, V ∩ W) = T(M ∪ N, V ∩ W) であり、 V ∩ W は平衡的である。 M ∪ N ∈ Σ だから Φ はフィルター基底(過去スレ006の77)である。 (続く)

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