補題 K を実数体または複素数体とする。 E を K 上の位相線形空間とする。 X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。 F(X, E) は K 上の線形空間である。 H を F(X, E) の線形部分空間とする。 X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。
(1) V が平衡的(過去スレ006の630)なら T(M, V) も平衡的である。
(2) V が凸(過去スレ008の424)なら T(M, V) も凸である。
(3) f ∈ H, λ ∈ K, λ ≠ 0 に対して f ∈ λT(M, V) であるためには f(M) ⊂ λV が必要十分である。
証明 (1) |λ| ≦ 1, f ∈ T(M, V) のとき、λf(M) ⊂ λV ⊂ V
(2) λ ≧ 0, μ ≧ 0, λ + μ = 1, f ∈ T(M, V), g ∈ T(M, V) のとき、x ∈ M に対して λf(x) + μg(x) ∈ V である。 よって、λf + μg ∈ T(M, V) である。
