命題 E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。 X を局所コンパクト空間とする。 K を X のコンパクトな部分集合とする。
K(X, K; E) の元 f に f の K への制限 f|K を対応させる 写像は明らかに単射である。K(X, K; E) のこの単射による像は { f ∈ C(K; E) | f(K^b)= 0 } と一致する。 ここで K^b は K の X における境界、即ち K^b = K - int(K) である。 ここで、int(K) は K の内部である。
証明 任意の f ∈ K(X, K; E) に対して U = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。 U は X の開集合で U ⊂ K だから U ⊂ int(K) である。 よって、f(K^b) = 0 である。
逆に、g ∈ C(K; E) で g(K^b) = 0 とする。 f を K において g と一致し、X - K で 0 となる X から E への 写像とする。 f は閉集合 F = X - int(K) 上で定数 0 だから連続である。 f は K 上で g と一致するから勿論連続である。 X = K ∪ F だから f は X 上で連続である。 よって、 f ∈ K(X, K; E) である。 証明終
