- 80 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/01(日) 18:50:16 ]
- 命題
α を実無理数として、任意の n ≧ 1 に対して
α = [a_0, . . . , a_n, α_(n+1)] とする。
各 a_i は有理整数で i ≧ 1 のとき a_i ≧ 1 で
α_(n+1) ＞ 1 である。
p_n = P(a_0, a_1, ... , a_n)
q_n = P(a_1, ... , a_n)
とおく。
ここで、P(a_0, a_1, ... , a_n) は >>44 で定義された多項式である。
このとき
|α - p_n/q_n| ＜ 1/q_n/q_(n+1)
である。
証明
>>79 より
|α - p_n/q_n | = 1/q_n(q_nα_(n+1) + q_(n-1))
である。
α_(n+1) ＞ a_(n+1) だから
|α - p_n/q_n | ＜ 1/q_n(q_na_(n+1) + q_(n-1))
>>44 より
q_(n+1) = q_na_(n+1) + q_(n-1)
よって
|α - p_n/q_n | ＜ 1/q_nq_(n+1)
証明終
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