命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式とする。 任意の素数 p に対して f により固有(過去スレ４の701)に表現される数 で p と素であるものが存在する。
証明 a が p で割れないとする。 x として p で割れず、y として p で割れ gcd(x, y) = 1 となるものをとれば、 ax^2 + bxy + cy^2 ≡ ax^2 (mod p) だから ax^2 + bxy + cy^2 は p で割れない。
c が p で割れないとする。 x として p で割れ、y として p で割れず、 gcd(x, y) = 1 となるものをとれば、 ax^2 + bxy + cy^2 ≡ cy^2 (mod p) だから ax^2 + bxy + cy^2 は p で割れない。
a と c が p で割れれば、f は原始的だから b は p で割れない。 x として p で割れず、y として p で割れず、 gcd(x, y) = 1 となるものをとれば、 ax^2 + bxy + cy^2 ≡ bxy (mod p) だから ax^2 + bxy + cy^2 は p で割れない。 証明終
