- 818 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/04(日) 07:43:35 ]
- p を奇素数として n ≧ 1 を有理整数とする。
a を mod p の原始根で a^(p-1) - 1 は p^2 で割れるとする。
a^(p-1) ≡ 1 (mod p) だから
a^(p-1) - 1 = ph となる h ∈ Z がある。
仮定より h は p で割れる。
a と mod p で合同な有理整数 b で b^(p-1) - 1 は p^2 で割れない
ようなものがあるかどうかを調べる。
a ≡ b (mod p) だから b = a + pt となる t ∈ Z がある。
２項定理より
b^p = a^p + (p^2)t + (p(p-1)/2)(p^2)t^2 + ...
よって
b^p ≡ a^p (mod p^2)
よって
b^p - b ≡ a^p - b (mod p^2)
一方
a^(p-1) = 1 + ph だから
a^p = a + pah である。
よって
a^p - b = a + pah - (a + pt) = p(ah - t)
よって
b^p - b ≡ p(ah - t) (mod p^2)
よって ah - t が p で割れなければ、b^p - b は p^2 で割れない。
従って、b^(p-1) - 1 は p^2 で割れない
ah ≡ 0 (mod p) だから t として 1 を取ればよい。
つまり、b = a + p が求めるものである。
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