代数的整数論　004

786 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/03(土) 16:36:42 ] 命題(Sylowの第一定理) G を位数 N の有限群とする。 p を素数とし、p^m が N を割るとする。ここで m ≧ 1 である。 このとき G の部分群 H で |H| = p^m となるものが存在する。 証明 G の位数に関する帰納法を使う。 G の中心(>>781)を K とする。 G の共役類(>>780) C で |C| ＞ 1 となるもの全体を C_1, ..., C_r とする。 G の類等式は |G| = |K| + |C_1| + ... + |C_r| である。 |K| = 1 なら、ある C_i に対して |C_i| は p で割れない。 x ∈ C_i のとき |C_i| = [G : N(x)] である(>>780)。 よって N(x) は p^m で割れる。 帰納法の仮定から N(x) の部分群 H で |H| = p^m となるものが 存在する。 よって |K| ＞ 1 と仮定する。 K に位数 p の元 x があるなら x で生成される部分群を L とすると、 L は G の正規部分群で |G/L| は p^(m-1) で割れる。 帰納法の仮定から G/L の部分群で位数が p^(m-1) となるものがある。 よって G の部分群で位数が p^m となるものがある。 (続く)

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