- 545 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 17:08:56 ]
- 補題
A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。
A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。
I = (A : B) を A の導手とする。
p を I ⊂ p となる A の素イデアルとする。
φ: B_p → B_p/IB_p を標準射とする。
B_p の可逆元 x に対して φ(x) は B_p/IB_p の可逆元だから
φ はアーベル群の射 ψ: (B_p)^* → (B_p/IB_p)^* を誘導する。
このとき ψ は全射である。
証明
B_p の極大イデアルは >>530 の証明で述べたように pA_p の上にある。
よって PB_p の形である。
ここで P は B の 0 でない素イデアルで p = A ∩ P となるもの
である。I ⊂ p だから IB_p ⊂ PB_p である。
よって B_p/IB_p の極大イデアルと B_p の極大イデアルは１対１に
対応する。
B_p の元 y に対して φ(y) が B_p/IB_p の可逆元だとする。
φ(y) は B_p/IB_p のどの極大イデアルにも含まれない。
即ち y は B_p の可逆元である。
よって ψ: (B_p)^* → (B_p/IB_p)^* は全射である。
証明終
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