- 490 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 10:16:42 ]
- 補題
A をネーター環、I を A のイデアル、m を A の極大イデアルとし、
m は V(I) の極小元とする。
I(m) を IA_m の標準射 A → A_m による逆像とする。
このとき A/I(m) は A_m/IA_m に標準的に同型である。
証明
>>486 より I(m) は m に属する準素イデアルである。
>>483 より m^n ⊂ I(m) となる n ＞ 0 がある。
よって V(I(m)) = {m} である。
よって A/I(m) は局所環である。
従って s ∈ A - m なら s は mod I(m) で A/I(m) の可逆元である。
a ∈ A、 s ∈ A - m で a/s ∈ A_m とする。
s は mod I(m) で A/I(m) の可逆元だから、a ≡ sb (mod I(m))
となる b ∈ A がある。
φ: A → A_m を標準射とする。
a/s - φ(b) = a/s - b/1 = (a - sb)/s = φ(a - sb)/φ(s) ∈ IA_m
よって φ: A → A_m と標準射 A_m → A_m/IA_m の合成をψとすると
ψは全射である。
ψの核は I(m) だから A/I(m) は A_m/IA_m に同型である。
証明終
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