- 388 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/28(木) 21:10:42 ]
- ここで、今までにも何度か引用 (例えば >>199, >>214) した
G-集合 (G-set) についての基本を整理しておく。
定義
G を群とし S を集合とする。
G から Aut(S) への準同型 f : G → Aut(S) が与えられたとき、
S を 左 G-集合と呼ぶ。
このとき G は S に左から作用するという。
ここで Aut(S) は S の自己全単射のなす群である。
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g ∈ G と x ∈ S に対して gx = f(g)(x) と定義することにより
写像 G × S → S が得られる。
このとき、以下の (1) と (2) が成り立つ。
(1) ex = e が任意の x ∈ S に対して成り立つ。
ここで e は G の単位元である。
(2) g(hx) = (gh)x が任意の g, h ∈ G と x ∈ S に対して成り立つ。
逆に (1) と (2) を満たす写像 G × S → S が与えられれば、
S は、左 G-集合となる。
G から Aut(S)^op への準同型 f : G → Aut(S)^op が与えられたとき、
S を 右 G-集合と呼ぶ。
ここで Aut(S)^op は Aut(S) の乗法の順序を反対に定義して得られる
群である。
通常、G-集合という場合、特に断らなければ左 G-集合を意味する。
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