- 325 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/22(金) 21:53:50 ]
- Q(√m) を虚２次体とし、その判別式を D とする。
f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の正定値(>>293)の
２次形式とする。
θ = (-b + √D)/2a とおく。
θ は複素上半平面にある判別式 D の２次無理数である。
(p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) のとき
τ = (sθ - q)/(-rθ + p) とおくと、>>286 より τ は判別式 D の
２次無理数である。
>>198 より Im(τ) = Im(θ)/|-rθ + p|^2 だから τ は
複素上半平面にある
θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。
g(u, v) = f(pu + qv, ru + sv) = ku^2 + luv + mv^2 とする。
aθ^2 + bθ + c = 0 より
a(pτ + q)^2 + b(pτ + q)/(rτ + s) + c(rτ + s)^2 = 0 となる。
この左辺は f(pτ + q, rτ + s) = kτ^2 + lτ + m である。
>>281 より g(u, v) = ku^2 + luv + mv^2 の判別式は D であり、
>>297 より g は正定値２次形式である。よって k ＞ 0 である。
よって τ = (-l + √D)/2k である。
以上を簡潔にまとめると
f に θ が対応するなら g には τ が対応する。
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