- 321 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/22(金) 16:26:24 ]
- 命題
Q(√m) を虚２次体とし、その判別式を D とする。
f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の正定値(>>293)の
２次形式とする。
f(x, y) が簡約２次形式(>>320)であるためには
|b| ≦ a ≦ c であり、
|b| = a または a = c のときは b ≧ 0 となることが必要十分である。
証明
θ = (-b + √D)/2a が >>253 で定義した集合 G に属すとする。
G = { z ∈ H ; -1/2 ≦ Re(z) ＜ 1/2 かつ |z| ≧ 1 で
|z| = 1 のときは -1/2 ≦ Re(z) ≦ 0 }
である。
Re(θ) = -b/(2a) だから -1/2 ≦ -b/(2a) ＜ 1/2 である。
したがって -a ≦ -b ＜ a
よって |b| ≦ a
|b| = a のときは a = b である。
他方、 D = b^2 - 4ac に注意して、
|θ|^2 = (b^2 + |D|)/4a^2 = (b^2 + |D|)/4a^2 = 4ac/4a^2 = c/a
|θ| ≧ 1 であるためには a ≦ c が必要十分である。
|θ| = 1 つまり a = c のときは -1/2 ≦ -b/(2a) ≦ 0
よって -a ≦ -b ≦ 0
つまり a ≧ b ≧ 0
証明終
|
 |
