- 292 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 23:26:20 ]
- 命題
I = [a, r + ω] を２次体 Q(√m) の原始イデアルの標準基底による
表示とする。
θ = (r + ω)/a とおく。
θ は２次無理数であり、その判別式は Q(√m) の判別式と一致する。
証明
Q(√m) の判別式を D とする。
θ が有理数なら ω = aθ - r が有理数になり矛盾である。
θ ∈ Q(√m) だから θ は２次無理数である。
β = r + ω とおく。仮定より N(r + ω) = ββ ' は a で割れる。
f(X) = a(X - θ)(X - θ ') とおく。
f(X) = a(X - β/a)(X - β '/a) = aX^2 -(β + β ')X + ββ '/a
b = -(β + β ')
c = ββ '/a
とおくと b と c は有理整数」であり、f(X) = aX^2 + bX + c である。
f(X) の判別式は (β + β ')^2 - 4ββ ' = (β - β ')^2
= (ω - ω ')^2 = D である。
>>290 より gcd(a, b, c) = 1 である。
よって θ の判別式は D である。
証明終
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