- 287 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19:56:08 ]
- ２次体 Q(√m) の判別式を D とする。
θ を判別式 D の２次の無理数とする。
aθ^2 + bθ + c = 0 とする。
ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。
さらに a ＞ 0 とする。
D = b^2 - 4ac である。
θ = (-b ± √D)/2a であるが θ = (-b + √D)/2a と仮定する。
a(aθ^2 + bθ + c) = a^2θ^2 + abθ + ac = 0
だから
(aθ)^2 + b(aθ) + ac = 0
よって aθ は代数的整数である。
aθ = (-b + √D)/2 だから aθ ∈ Q(√m) である。
m ≡ 1 (mod 4) のとき
(-b + √D)/2 = (-b - 1 + 1 + √m)/2 = (-b - 1)/2 + ω
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき
(-b + √D)/2 = (-b + 2√m)/2 = -b/2 + ω
いずれの場合でも aθ = r + ω の形である。
r = aθ - ω は有理数で代数的整数でもあるから、有理整数である
(前スレ３の158より有理整数環は整閉である)。
(aθ)^2 + b(aθ) + ac = 0
だから N(aθ) = ac である。
よって [a, aθ] = [a, r + ω] は Q(√m) の原始イデアルである。
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