命題 ２次体 Q(√m) の整数環の任意のイデアル I ≠ 0 は I = [a, b + cω] と一意に書ける(この記法については >>9 参照)。 ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 で a と b は c で割れる。
証明 >>12 と 前スレ３の988より I = [a, b' + cω] と書ける。 ここで a ＞ 0, c ＞ 0 である。前スレ３の996より a と c は I により 一意に決まる。 k を任意の有理整数として I = [a, (b' + ka) + cω] となることは 明らかだろう。従って、b ≡ b' (mod a) で 0 ≦ b ＜ a となる b を とれば、I = [a, b + cω] となる。b は a により一意に決まる。
a は I に含まれる最小の正の有理整数である。 c は x + yω ∈ I で y ＞ 0 となる最小の y である。 aω ∈ I だから a は c で割れる。
