- 124 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 10:40:03 ]
- 補題
２次体 Q(√m) において
p が完全分解(>>106)する奇素数で p = PP' とする。
P = [p, b + ω] とする。
n ≧ 1 を任意の有理整数としたとき、
P^n = [p^n, r + ω] となる。
ここで r ≡ b (mod p) であり、さらに
m ≡ 1 (mod 4) なら
(2r + 1)^2 ≡ m (mod p^n)
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら
r^2 ≡ m (mod p^n)
証明
>>113 より P^n は原始イデアルである。
N(P^n) = p^n だから
適当な r により P^n = [p^n, r + ω] と書ける。
r + ω ∈ [p, b + ω] だから
r - b = r + ω - (b + ω) ∈ [p, b + ω] となり、
r ≡ b (mod p) である。
残りは >>37 の証明と同様である。
証明終
