- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/07(木) 07:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/11(金) 00:12:46 ]
- 転載。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1174230352/506
正の整数が「交代的」であるとは、その整数を十進法表示したときに、
どの隣接する2つの桁の数字に対してもそれらの偶奇が異なることをいう。
交代的な倍数をもつような正の整数をすべて決定せよ。
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/11(金) 21:39:22 ]
- >>898
これ数オリの問題
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/12(土) 18:05:01 ]
- >>882
このスレは無限降下する…
900げとー
- 901 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/14(月) 23:56:56 ]
- 自然数mがm=(p[1]^a[1])*(p[2]^a[2])*・・・*(p[n]^a[n])と素因数分解されたとする。
rをmの約数の総数、sをmの約数の逆数の総和とするとき、r/s≧nとなることを示せ。
また、等号が成り立つのはmが完全数であるときに限ることを示せ。
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 00:27:47 ]
- >901
題意より
r = Π[k=1,n] {1 + p[k]^1 + p[k]^2 + …… + p[k]^a[k]},
s = Π[k=1,n] {1 + p[k]^(-1) + p[k]^(-2) + …… + p[k]^(-a[k])},
辺々割って
r/s = Π[k=1,n] p[k]^a[k] = m.
等号成立は m=n=1 ?
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 00:33:19 ]
- >>901
完全数２８＝２＾２＊７のとき
ｓ＝２、ｒ＝６、ｎ＝２
で成立してないような。
rをmの約数の総数（１と自分自身を除く）ってことか？
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 00:53:21 ]
- >903
そうすると、題意より
r = Π[k=1,n] {1 + p[k]^1 + p[k]^2 + …… + p[k]^a[k]} -1 -m,
s = Π[k=1,n] {1 + p[k]^(-1) + p[k]^(-2) + …… + p[k]^(-a[k])} -1 -(1/m),
辺々割って
r/s = m.
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 01:01:00 ]
- 総和≠総数
- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 01:34:25 ]
- 完全数（偶数、奇数を問わない）の約数の逆数の総和は常に2である。
ってのはあるけど
∵
(ｍの約数の逆数の総和)×ｍ = (ｍの約数の総和)
(ｍの約数の総和)=2ｍなので、
(ｍの約数の逆数の総和)=2
- 907 名前：901 [2007/05/15(火) 02:07:23 ]
- 題意が間違ってた
不等式の中のnは間違いで、a[1]+a[2]+・・・+a[n]だった
本当に申し訳ない
- 908 名前：901 [2007/05/15(火) 02:39:51 ]
- 申し訳ない。二つの問題が混ざってた。
>>901 の二行目までは正しい
三行目は次のように読み替えてください。
mが完全数のときはr/s=a[1]+a[2]+・・・+a[n]となることを示せ。
- 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 15:00:28 ]
- >>901
r/s はｍの約数の調和平均Ｈになってるみたい。
また、約数の相乗平均Ｇ＝√ｍ も証明できるので
Ｈ＝ｒ／ｓ≦√ｍ ってのは証明できた。 下限はまだ
- 910 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/16(水) 02:28:32 ]
- >>909
相乗平均=√m、綺麗で感動した
証明は帰納法でごり押ししてみた
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/16(水) 04:50:32 ]
- r/s≧2^n/(n+2)を示せるな
もちろん2^n/(n+2)≧n (等号はn=2のみ)
k番目の素数が>klogkなことを使って改良すると
例えばn≧3で、r/s>(5log3/12)2^n/lognとか
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/16(水) 04:52:57 ]
- r/s≧(2^(n+1))/(n+2)
だ、ミスった
- 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/16(水) 12:59:08 ]
- n≧3で、r/s>(5/12)log(7/2)*(2^n)/log(n+1/2)に修正
これも大雑把だけど
- 914 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/17(木) 02:20:26 ]
- 下からの評価をするとき、結局a[k]≧1を使うから荒くなるんだよね
しかもm→∞のときn→∞となるとは限らないから、もうなんかダメポ
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/17(木) 02:26:49 ]
- いや、ｎだけの式を作るならa[k]≧1を使うのは当然でしょう
じっさい自由なんだから
- 916 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/17(木) 03:11:45 ]
- 目的がnによる評価だから仰るとおりです
気分的にm→∞のときr/s→∞と限らないのが嫌で
でも>>913のように、nに関する評価を精密にするのは大切だと思う
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/17(木) 03:17:06 ]
- >>916
たとえばこんなのはどう？
q_kをk番目の素数として、
r/s≧Π[k=1,n](2p_k/(p_k+1))≧Π[k=1,n](2q_k/(q_k+1))
1番右はnだけの関数でf(n)とおいとく
さらに適当なmをとってそこから先を近似して
f(n)≧{Π[k=1,m](q_k/(q_k+1))}(2^n)(f(m)/f(n)) (n≧m)
たとえばf(x-1/2)=(logx)^(1+1/logx-loglogx/logx)とすると、
（m=15としたときn=1000でのf(n)との誤差は１０％以下
これはコンピュータで計算しただけで誤差評価ではない）
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/17(木) 03:18:31 ]
- あ、ｍって使ったらまずかったな、このｍはただの数字ってことで・・・
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/17(木) 03:25:19 ]
- f(n)≧{Π[k=1,j](q_k/(q_k+1))}(2^n)(g(m)/g(n)) (n≧j)
たとえばg(x-1/2)=(logx)^(1+1/logx-loglogx/logx)とすると、
ｊ=15としたときn=1000での右辺とf(n)との誤差は１０％以下
どうも調子悪い
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 20:17:04 ]
- 順列（1,2,3,...n)を辞書式順序でn!個並べると
、、、（偶置換、偶置換）、（奇置換、奇置換）、（偶置換、偶置換）、、、
となることを示せ
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 20:30:11 ]
- >>920
問題の意味が…
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 20:49:18 ]
- すいません。
例えば n=3 のとき
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) が辞書式順序で並べた数列で
数列に対応する置換σを(σ(1)σ(2)σ(3))とするということです。
上記の場合 恒等置換(偶）, 互換（奇）(2,3)、(1,2), 巡回置換（偶）(1,2,3), (1,3,,2),
互換（奇）(1,3) と最初と最後を除き奇奇偶偶となるということです。
簡単ならごめんなさい。
- 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 21:20:03 ]
- （１，５，４，２，３），（１，５，４，３，２），（２，１，３，４，５）。
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 22:59:55 ]
- >>923 ありゃ間違ってましたか。 実はｎ＝４のときまでしか確かめてなかった、、
０＝偶置換、１＝奇置換、ｎ’をｎの偶奇を反転したものとすると
ｎ＝２のとき ２＝０１ ２’＝１０
ｎ＝３のとき ３＝２２’２＝０１１００１
ｎ＝４のとき ４＝３３’３３’＝０１１００１ １００１１０ ０１１００１ １００１１０
ｎ＝５のとき ５＝４４’４４’４＝０１１００１１００１１００１１００１１００１１０ １００１１００、、、
となるようです（多分）。 また 最初と最後の偶奇は
ｎ≡０、１（mod 4) のとき００
ｎ≡２、３（mod 4) のとき０１
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 10:17:41 ]
- いいや面白い予想を書くスレじゃないから
- 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 06:11:35 ]
- t(n) := (n を 10進数で書いたときの各位の和)
とする。
このとき、Σ_{i=1 〜 ∞} t(n)/{(n)(n+1)} を求めよ。
- 927 名前：926 mailto:sage [2007/05/22(火) 06:13:44 ]
- nじゃなくてiじゃないか。
Σ_{i=1 〜 ∞} t(i)/{(i)(i+1)}
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 13:41:14 ]
- >>926
∞ 調和級数で発散
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/23(水) 01:18:20 ]
- >927
t(i) ≦ 9*log(i+1) ≦ c√i < 2c／{1/√i + 1/√(i+1)} = 2ci(i+1){1/√i - 1/√(i+1)},
c = (9/2)*log(5) = 3.145365…
- 930 名前：927 mailto:sage [2007/05/24(木) 03:14:55 ]
- ちゃんとした数に収束するよ。
自分で用意した証明は、大学1、2年程度の知識が必要だけど。
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 14:06:06 ]
- >>927
良問。
オリジナル？
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 18:52:34 ]
- >>931
Digit Sum -- from Wolfram MathWorld
mathworld.wolfram.com/DigitSum.html
- 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 23:44:26 ]
- 2進法展開の場合を計算したらlog4になった。計算の方針は、
f(x)＝Σ[k＝1〜∞]t(k)x^(k−1) (0≦x＜1)
とおき、これを別の計算によって簡単な形にする。その結果は
f(x)＝1/(1−x^2)＋{1/(1−x)}Σ[k＝1〜∞]{x^(2^k−1)}/{1＋x^(2^k)}
となる(計算は略)。この式から、
Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝∫[0,1](1−x)f(x)dx
＝∫[0,1]1/(1＋x)＋Σ[k＝1〜∞]{x^(2^k−1)}/{1＋x^(2^k)}dx
＝log2＋Σ[k＝1〜∞](log2)/2^k
＝log4
になる。積分とΣの順序交換についても確認が必要だが、面倒くさいのでここでは書かない。
10進法の場合も似たような計算かな？
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/25(金) 00:00:17 ]
- マテよ、Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝… という形で
計算するより、Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝lim[y↑1]∫[0,y](1−x)f(x)dx＝…
の形で計算した方が安全だな。
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/31(木) 22:56:35 ]
- 自然数l,m,nに対し、m*m行列Aをa_ij=C[l+n,n+i-j]、n*n行列Bをb_ij=C[l+m,m+i-j]で定めるとき、detA=detBを示せ。
- 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 00:03:53 ]
- >>935
p<qに対してC[p,q]はどう定義して？
- 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 09:04:04 ]
- 0だろ
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 22:29:25 ]
- >>936
ごめん書いてなかった
937の言うとおりでok
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/03(日) 12:55:32 ]
- 自作問題。
f,g：[0,＋∞) → [0,＋∞)は単調減少関数で、lim[x→＋∞]f(x)＝0,lim[x→＋∞]g(x)＝0
であるとする。このとき、次を示せ。
・任意のε≧0に対して、広義積分∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dxが存在する。
・lim[ε↓0]∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dx＝g(0)∫[0,∞]f(x)e^(ix)dxが成り立つ。
- 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/12(火) 00:54:02 ]
- 殆ど、初めて勉強した事を得意になって開陳する厨房状態ですが。ナッシュの埋め込み定理の
具体例に関して。
2次元球面は十分に大きな空間においては好きなだけ小さな領域に等長に埋め込める。私は
めちゃくちゃおおざっぱな評価をしたのですが、このようにできる最小次元は何次元なんで
しょう？これじゃ問題と言うより質問になっちゃうが。4次元でできるかな？以上shape operator
なるものは超曲面の場合しか具体計算したことの無い人間の戯言でした。
- 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/12(火) 03:36:46 ]
- >>940
うせろ！
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/14(木) 21:51:21 ]
- 1,2,3, ...n から二数 ｘ、ｙを適当に選んで消してｆ（ｘ、ｙ）を付け加える。
この操作を続け最終的に残る数が二数を選ぶ順番によらないようなｆ（ｘ、ｙ）をすべて求めよ。
- 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/14(木) 22:51:32 ]
- 定数関数
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 01:12:56 ]
- 交換法則と結合法則を満たす二項演算全部か？
- 945 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/22(金) 22:02:47 ]
- 初等数学で。次の等式を満たす整数x，y，z (x≦y)を全て求めてください。
(1) 2^x+2^y=2^z
(2) 3^x+3^y=3^z
(3) 2^x+2^y=3^z
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/22(金) 23:00:02 ]
- >>945
つ…いや、何でもない。
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/22(金) 23:20:52 ]
- >>935
に挑戦してるんだが、だめだなあ。
lで帰納法かなあ。うまくいかん。
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/24(日) 17:34:07 ]
- >935, >947
det(A) = Π[k=0,m-1] (l+n+k)!k!/[(l+k)!(n+k)!],
det(B) = Π[k=0,n-1] (l+m+k)!k!/[(l+k)!(m+k)!].
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/24(日) 17:40:51 ]
- >945
(1) x=y=z-1
(2) なし
(3) (x,y,z)=(-1,-1,0), (0,1,1), (0,3,2)
- 950 名前：948 mailto:sage [2007/06/24(日) 20:59:57 ]
- >935, >947
>948 に
(l+n+k)!/(n+k)! = Π[p=0,l-1] (p+n+k+1),
k!/(l+k)! = Π[p=0,l-1] 1/(p+k+1),
(l+m+k)!/(m+k)! = Π[q=0,l-1] (q+m+k+1),
k!/(l+k)! = Π[q=0,l-1] 1/(q+k+1),
を代入すると いづれもl項の積の形になり
det(A) = Π[p=0,l-1] {(p+m+n)!/(p+n)!} * {p!/(p+m)!},
det(B) = Π[q=0,l-1] {(q+m+n)!/(q+m)!} * {q!/(q+n)!},
だから、
det(A) = det(B).
- 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/24(日) 22:26:54 ]
- >>948>>950
やるぅー。
ところで>>948式は俺の頭ではどうにも導けそうにないんだが 。
教えて下せえ。ところどころ端折ってもいいんで。
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