条件を満たさないものがあったら、条件を満たすようなもののうち 「一番上にあるもの」と入れ替えていくことにする。入れ替えは上から順に行っていく。 この操作を繰り返して得られる写像をs: N → Q∩[0, 1]とする。 操作をk回繰り返せばs_1からs_kまでは確定するから s は最初の r を 定めればきちんと定義されている。
全写なことと単写なことを別々に確かめればよい。 単写なのは定義から明らか。
全写なのは背理法で示す。sによってr_i∈Q∩[0, 1]に対応する自然数が無かったとしよう。 このようなr_iたち同士の順序（上にあるか下にあるか）は操作によって変わらない。 このような i のうちで最小のものxを取る。 r_xは十分多くの操作（N回とする）が行われた後には N + 1番目（未定義のr_iたちのなかで一番上）に来ている。 これ以降のM回目（M>N）の操作では必ず第M桁目が0となっていて 「条件を満たさないもの」となっている。 つまりr_xの小数表示はN + 1桁目以降は全て0。矛盾。
