- 202 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/12(日) 16:07:47 ]
- >>195
L(x[1],x[2],…,x[10])＝(x[1]＋x[2]＋…＋x[10])^12＝Σ[a∈A]x[a1]x[a2]…x[a10]とおく。
ただしA＝{f｜f：{1,2,…,12}→{1,2,…,10}}とした。右辺に現れる項x[a1]x[a2]…x[a10]の
うち、「x[1]からx[5]がそれぞれ1つ以上かけられているもの」…＊の個数をMとすれば、求める
確率はM/10^12となる。ところで、
K＝∂L/∂x[1]∂x[2]∂x[3]∂x[4]∂x[5]＝Σ[a∈A]∂(x[a1]x[a2]…x[a10])/∂x[1]∂x[2]∂x[3]∂x[4]∂x[5]
を計算すると、x[a1]x[a2]…x[a10]のうち、＊を満たさないものについては、この偏微分で消えてしまうので、
残った項の個数がMとなる。ところが、偏微分によって各項に余計な係数がついてしまうので、この係数を1に
する必要がある。そのためには、これをx[1]〜x[5]で1回ずつ(それぞれ0からx[i]まで)積分すればよい。積分
した関数をF(x[1],x[2],…,x[10])とおけば、M＝F(1,1,…,1)となる。
F(x[1],x[2],…,x[10])＝∫[0,x[1]]∫[0,x[2]]…∫[0,x[5]]K(s[1],…,s[5],x[6],…,x[10])ds[5]ds[4]…ds[1]
∂L/∂x[1]∂x[2]∂x[3]∂x[4]∂x[5]＝12*11*…*8(x[1]＋x[2]＋…＋x[10])^8
であるから、
F(x[1],x[2],…,x[10])＝Σ[∧⊂{1,2,3,4,5}]{(−1)^|∧|}{Σ[i＝1〜10]x[i]−Σ[λ∈∧]x[λ]}^12
となる。ただし∧＝φのときは|∧|＝0とする。以上より、
M＝F(1,1,…,1)＝Σ[∧⊂{1,2,3,4,5}]{(−1)^|∧|}(10−|∧|)^12
＝Σ[k＝0〜5]5Ck(−1)^k(10−k)^12
＝10^12−5*9^12＋10*8^12−10*7^12＋5*6^12−5^12
となり、M/10^12＝1−5*0.9^12＋10*0.8^12−10*0.7^12＋5*0.6^12−0.5^12
が求める確率である。
…これで合ってるかなぁ(´-｀)
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