- 1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 20:27:30 ]
- 語ろう
- 2 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 20:28:41 ]
- 語らん
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/18(金) 20:30:04 ]
- 語らん
- 4 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 20:31:58 ]
- 語らんで数
- 5 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 20:37:58 ]
- 語らん予想というのもあるな。
|a^b-c^d|=1の正整数解(a,b,c,d)が(3,2,2,3)に限るとかいうやつ。
- 6 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 20:39:22 ]
- >>5
すでに解かれております。
- 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/18(金) 21:48:37 ]
- 猫ｽﾚに…
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/04(日) 00:12:40 ]
- >5
Paderborn大学のPreda Mih\u{a}ilescu氏により証明されたらしい。。。
"Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture",
P.Mih\u{a}ilescu: J. reine angew. Math., ５７２, p.167-195 (2004)
★東大入試作問者スレ５
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/874-876
Waseda Friday Seminar (2004.11.5)
www.math.waseda.ac.jp/NTseminar/2004.html
講演者： 多田 祐樹 (早大･理工)
題名：「Catalan予想の証明の紹介」
マセマティカのサイト
mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html
数セミ増刊（日本評論社）から
鹿野 健: 「数学100の問題｣ p.104-105 (1984)
吾郷孝視: 「数学・物理100の方程式」p.20-21 (1989)
- 9 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 13:54:06 ]
- age
- 10 名前：king of kings mailto:sage [2005/12/25(日) 22:42:03 ]
- 語らん
- 11 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/25(日) 22:56:29 ]
- talk:>>10 何やってんだよ？
- 12 名前：speedking ◆chWMuw.JpE mailto:sage [2005/12/31(土) 14:42:20 ]
- >>11 あんた誰にでも絡むのな。
でも日本語おかしいよ。
- 13 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/31(土) 20:12:42 ]
- talk:>>12 何やってんだよ？
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 05:43:55 ]
- 671
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 14:24:15 ]
- 171 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 07:50:10
次の問題をよろしくお願いします。
連立方程式
x - y = 1
x^y - y^x = 1
解が二組あるようです。
172 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 08:54:26
(2,1) , (1,0)
174 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 09:04:37
>>172
(3,2)もある。ほかあるんかな・・・
さくらスレ１８４
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137072072/171-174
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 14:34:43 ]
- >15
x-y=1 みたいな付加条件があったら簡単に解けるyo!
〔補題〕
x,y,p,q は1より大きい自然数
x - y = 1
x^p - y^q = 1
ならば
x=3, y=2, p=2, q=3.
（Le Veque(1952), H.B.Yu(1999) ）
---------------------------------------------------------
元のカタラン予想:
mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
P.Mihailescu: "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture",
J.reine angew.Math., ５７２, p.167-195 (2004).
- 17 名前：16 mailto:sage [2006/01/15(日) 15:24:18 ]
- 補題の略証 (H.B.Yu,1999)
x^p - y^q = 1. …… (*)
x^p - y^q = (y+1)^p - y^q ≡ py +1. (mod y^2)
x^p - y^q = x^p - (x-1)^q ≡ (-1)^q･(qx-1). (mod x^2)
(*)より、y|p, x|q, qは奇数ゆえ xも奇数, y=x-1は偶数ゆえ p=2r.
y^q = x^p -1 = x^(2r) -1 = (x^r-1)(x^r+1). …… (**)
2 ≦ GCD(x^r +1, y) = GCD(x^r +1, x-1) ≦ GCD(x^r +1, x^r -1) = 2.
y = (2^e)w (e≧1,wは奇数)とおくと、GCD(x^r +1, w) = 1.
x^r +1 = 2^a. 一方、x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2 より、a≧2,
x^r -1 および y は4の倍数でない。e=1.
これを用いて (**)を 2ベキ因子 と 奇数因子 に分離する。
2^q = 2^(a+1) =2(x^r +1).
w^q = (x^r -1)/2.
これと x^r +1 > x^r -1 より、2^(q-2) > w^q.
∴ w=1, y=2, x=y+1=3.
3^r -1 = 2 より r=1, p=2r=2, q=3 (終)
数セミ(1999.6)
- 18 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/20(金) 18:42:09 ]
- age
- 19 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 12:56:23 ]
- カタラン数ってのは、直角二等辺三角形状の最短経路のことだった希ガス。
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 06:36:12 ]
- 721
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/26(日) 02:45:50 ]
- カタラン数ってのは↓のことだった飢餓ス。
Ｋ = ∑[k=0,∞) (-1)^k /(2k+1)^2
= 0.915965594177219015054603514932…
Ｋ = ∫[0,1] arctan(x)/x dx
= -∫[0,1] log(x)/(1+x^2) dx
= (1/2)∫[0,1] Ｋ(k) dk
= -∫[0,π/2] log|2sin(t/2)| dt
= ∫[0,π/4] log|cot(x)| dx
= (1/2)∫ x/sin(x) dx
= -(1/4)∫[0,1] log(x)/((1+x)√x) dx
= -(1/4)∫[0,1] log(x)/((1+x)^2･√x) dx
= (1/8)∫[0,1] ∫[0,1] 1/{(1-xy)√[x(1-y)]} dxdy
= 1 - ∑[n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).
mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html
- 22 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/01(水) 20:57:55 ]
- age
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 15:21:27 ]
-
- 24 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/31(金) 12:42:11 ]
- 語れよ
- 25 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/31(金) 14:22:03 ]
- 語らん
- 26 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/02(日) 15:17:45 ]
- 語る無かれ
- 27 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/02(日) 18:04:17 ]
- カタラン数について語らんとするに
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/15(土) 23:07:24 ]
- 841
- 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/23(日) 17:21:24 ]
- ┌-―ー-';
| (・∀・) ﾉ
＿＿＿＿ 上―-―' ＿＿＿_
| （･∀･） ｜ ／ ＼ | (・∀・) |
|￣￣￣￣ （￣￣￣） |￣￣￣
∧ （[[[[[[|]]]]]） ,∧
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／⌒＼ _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ ]
| . ∩ |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
／i~~i' l ∩∩l .ｌ ∩ ∩ l |__| .| .∩| .| l-,
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| l ,==,-'''^^ l |. ∩. ∩. ∩. | |∩| |∩∩| |~~^i~'i、
,=i^~~.| |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| | |~i
l~| .| | ,,,---== ヽﾉ i ヽﾉ~~~ ヽﾉ ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
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~^^''ヽ ヽ i ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ / ／ ノ
ヽ 、 l | ｌ l / .／ ／
＼_ 、i ヽ i / ,,=='
''==,,,,＿＿＿,,,=='~
- 30 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/27(木) 07:35:42 ]
- age
- 31 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/27(木) 22:59:22 ]
- ｎ＋１個の数を掛け算するとき、掛け算の順序を決める括弧のつけ方の総数はいくらか
- 32 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/27(木) 23:13:22 ]
- >>31
>>31
お前馬鹿かｂ
順序の定義のよって違うｂ
abcd = (ab)(cd) とする時、１通りか？ｂ
ab, cd の積の順番によって２通りか？ｂ
お前馬鹿か？ｂ
この馬鹿ｂ
- 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/28(金) 00:44:57 ]
- 209 ：１３２人目の素数さん ：2006/04/19(水) 00:25:21
Ｃ[2k,k]Ｃ[2n-2k,n-k] が Ｃ[n,k] で割り切れることを示せ。
お長居します。
さくらスレ１９０
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1145250000/209
- 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/01(月) 02:00:38 ]
- >33
任意の素数pについて
Ｃ(2k,k)･Ｃ(2n-2k,n-k) 中のpの巾指数 ≧ Ｃ(n,k) 中のpの巾指数.
を示す。
Ｃ(2k,k)･Ｃ(2n-2k,n-k) = (2k)!(2n-2k)!/(k!･k!･(n-k)!･(n-k)!),
Ｃ(n,k) = n!/(k!･(n-k)!).
さて、1,2,…,m のうち p^e の倍数は [m/(p^e)] 個(p^e自身も含む)だから
m!中のpの巾指数 = ∑(e=1,m) [m/(p^e)].
これと補題↓を使うと, 成り立つことを示せる。(終)
※ p進表示 m=∑(e=0,m) d_e･p^e を使えば pの巾指数 = ∑(e=1,m) d_e･(p^e -1)/(p-1).
(補題)
[2x] + [2y] - 2[x] - 2[y] ≧ [x+y] - [x] -[y].
(略証)
x=[x]+{x}, y=[y]+{y} とおく。0≦{x},{y}<1.
(左辺) = [2{x}] + [2{y}], (右辺) = [{x}+{y}].
(右辺)=1 ⇒ {x}+{y}≧1 ⇒ 2{x}≧1 or 2{y}≧1 ⇒ (左辺)≧1.
(左辺)=0 ⇒ 2{x}<1 & 2{y}<1 ⇒ {x}+{y}<1 ⇒ (右辺)=0.
∴ (左辺) ≧ (右辺).
- 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/03(水) 00:49:42 ]
- >34
それぢゃぁ F(h,k,L) = (h+k+L)!/(h!･k･!L!) とおくとき、
F(h,h,h) F(k,k,k) F(L,L,L) は F(h,k,L) で割り切れまつか?
- 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/03(水) 16:22:34 ]
- >34
Ｃ(2k,k)Ｃ(2n-2k,n-k) = (2k)!(2n-2k)!/{k!k!(n-k)!(n-k)!}, Ｃ(n,k) = n!/{k!(n-k)!}.
x=k/(p^e), y=(n-k)/(p^e) とおいて 補題を使うんでつね。
>35
うん.
- 37 名前：１３２人目の素数さん [2006/05/13(土) 16:24:28 ]
- age
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/26(金) 14:22:50 ]
- 523
- 39 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/01(木) 22:04:12 ]
- C(n,r)を2項係数とする。Σ[i=0,[n/2]]C(n,i)･C(n-i,i)･4^(-i)=C(2n,n)/2^n を証明したいのですができません。どなたか教えて下さい。
- 40 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/02(金) 12:42:28 ]
- x^nをかけてnに関して和をとる。
(1-2x)^(-0.5)
- 41 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/02(金) 12:51:10 ]
- カタラン予想
- 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/16(金) 01:35:04 ]
- 265
- 43 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/28(金) 08:49:03 ]
- あげ
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/30(水) 14:51:19 ]
- 825
- 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/02(月) 23:42:38 ]
- 288
- 46 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/30(月) 22:04:10 ]
- Ｃ[2k,k]Ｃ[2n-2k,n-k] が Ｃ[n,k] で割り切れることを示せ。
お長居します。
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/30(月) 22:19:10 ]
- >>46
出展を述べよ。話はそれからだ！
- 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/02(木) 00:43:26 ]
- >>46
blog.livedoor.jp/neet_blog/
- 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/02(木) 04:21:49 ]
- >>48
Σ(ﾟдﾟ；)！
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/13(月) 02:39:44 ]
- 509
- 51 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/13(月) 08:51:32 ]
- Ｃ[2k,k]Ｃ[2n-2k,n-k] が Ｃ[n,k] で割り切れることを示せ。
お長居します。
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/07(木) 01:42:22 ]
- >>21
K = 1 - ∑[n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).
(略証)
K = ∑[k'=0,∞) {(-1)^k'}/(2k'+1)^2
= 1 - ∑[k=1,∞) {1/(4k-1)^2 -1/(4k+1)^2}
= 1 - ∑[k=1,∞) (1/k) (4k)^2/{(4k)^2 -1}^2
= 1 - ∑[k=1,∞) (1/k) ∑[n=1,∞) n･(1/4k)^(2n) (← r/(1-r)^2 = ∑n･r^n )
= 1 - ∑[n=1,∞) {n/(16^n)} ∑[k=1,∞) (1/k)^(2n+1)
= 1 - ∑[n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).
K = 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167 …
- 53 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/31(水) 14:34:30 ]
- もっとわかりやすくできませんか？
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/05(月) 18:04:11 ]
- 516
- 55 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/05(月) 18:09:38 ]
- ベクトル空間Vの部分空間W1,…,Wkについて
V=W1+W2+…+Wkとする。この時次の三つの命題は同値であることを示せ。
(1)∀v∈Vに対しwi∈Wi(i=1,…,k)でv=w1+w2+…+wkとなる
{w1,…,wk}がただ一組存在する。
(2)任意のi∈{1,2,…,k}に対し
Wi∩(W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk)={0}が成り立つ。
(3)dimV=dimW1+dimW2+…+dimWkが成り立つ。
(2)⇒(3)は示せたのですが(1)⇒(2)、(3)⇒(1)はどう示せばいいのでしょうか？
- 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 20:43:46 ]
- 723
- 57 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 08:33:35 ]
- >55をお願いします・・・
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 09:11:56 ]
- スレ違いだろ、ボケ。質問スレがあるだろ>57
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/25(月) 11:02:02 ]
- 720
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/31(金) 17:01:36 ]
-
- 61 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/10(水) 23:01:56 ]
-
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 14:02:17 ]
- 149
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:27:31 ]
- 二年九時間。
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 18:20:39 ]
- 〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 20:24:33 ]
- 大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５
- 66 名前：スターリング mailto:sage [2008/01/20(日) 20:34:06 ]
- >65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
- 67 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/18(火) 22:32:37 ]
- age
- 68 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/20(木) 12:44:57 ]
- 俺が読んだ本だと木構造のパターン数と絡めて説明されていたわけだが＞カタラン数
なんでこれ絶対整数になるの？
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/05(月) 22:35:45 ]
- 228
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/04(金) 08:31:20 ]
- 231
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 19:38:08 ]
- 052
- 72 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 08:08:31 ]
- 何も語らん数age
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 10:32:16 ]
- 238
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 08:20:53 ]
- 112
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 20:27:30 ]
- 三年。
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 00:58:34 ]
- うるさい。
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/09(金) 08:32:54 ]
- 456
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 07:47:09 ]
- 711
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/16(月) 01:01:54 ]
- King氏ね
- 80 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/02/16(月) 09:51:41 ]
- Reply:>>79 お前に何がわかるというか。
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/16(月) 20:00:00 ]
- カタラン布局
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/25(土) 11:29:04 ]
- 807
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/17(日) 18:48:02 ]
- 〔問題〕
Ｃ[2n,n]/(n+1) = (2n)!/{(n+1)!n!} が自然数であることを示せ。
- 84 名前：34 mailto:sage [2009/05/17(日) 18:57:39 ]
- >>83
任意の素数pについて
(2n)! 中のpの巾指数 ≧ n!(n+1)! 中のpの巾指数.
を示す。
さて、1,2,…,m のうち p^e の倍数は [m/(p^e)] 個(p^e自身も含む)だから
m!中のpの巾指数 = ∑(e=1,m) [m/(p^e)].
これと補題↓を使うと, 成り立つことが分かる。(終)
※ p進表示 m=∑(e=0,m) d_e･p^e を使えば pの巾指数 = ∑(e=1,m) d_e･(p^e -1)/(p-1).
(補題)
0≦y≦1/2 のとき
[2x] - [x] - [x + y] ≧ 0,
(略証)
x = [x] + {x} とおく。0≦ {x}, y <1.
(左辺) = [2{x}] - [{x}+y],
・0 ≦ {x} < 1/2 のとき [2{x}] =0, [{x}+y] =0 で成り立つ。
・1/2 ≦ {x} < 1 のとき [2{x}] =1, [{x}+y] ≦1 で成り立つ。
〔系〕 P≧2 のとき
[2n/P] - [n/P] - [(n+1)/P] ≧ 0,
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 04:49:53 ]
- 937
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/18(火) 10:07:36 ]
- 749
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 09:06:37 ]
-
∑[n=1,∞) 1/Ｃ[2n,n] = (2(√3)/27)π + 1/3 = 0.73639985871871507790979516836492
∑[n=1,∞) 1/{n･Ｃ[2n,n}] = ((√3)/9)π = 0.60459978807807261686469275254739
∑[n=1,∞) 1/{n^2･Ｃ[2n,n}] = (1/3)ζ(2) = (1/18)π^2 = 0.54831135561607547882413838888201
∑[n=1,∞) 1/{n^3･Ｃ[2n,n}] = 0.522946192133335
∑[n=1,∞) 1/{n^4･Ｃ[2n,n}] = (17/36)ζ(4) = (17/3240)π^4 = 0.51109708258581525710477952336666
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:28:18 ]
-
∑[n=1,∞) 1/{n^5･Ｃ[2n,n]} = 0.505429474683519
∑[n=1,∞) 1/{n^6･Ｃ[2n,n]} = 0.502676521478269
∑[n=1,∞) 1/{n^7･Ｃ[2n,n]} = 0.501325872688179
∑[n=1,∞) 1/{n^8･Ｃ[2n,n]} = 0.500658891297671
∑[n=1,∞) 1/{n^9･Ｃ[2n,n]} = 0.500328117739175
∑[n=1,∞) 1/{n^10･Ｃ[2n,n]}= 0.500163621220334
Σ[n=0,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] x^n = {1-√(1-4x)}/2x,
x=1/4 とおいて
Σ[n=0,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] (1/4)^n = 2,
Σ[n=1,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] (1/4)^n = 1,
Σ[n=0,∞) {1/[(n+1)!]}Ｃ[2n,n] x^(2n) = exp(2x){I0(2x)-I1(2x)},
Σ[n=0,∞) {1/[(n+1)(2n)!]}Ｃ[2n,n] x^(2n) = I1(2x)/x,
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:30:43 ]
- >>83
Segner の漸化式↓を使えば簡単なのに･･･
c_0 = 1,
c_(n+1) = Σ[k=0,n] c_k･c_(n-k), (n≧0)
- 90 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 12:07:40 ]
- age
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:06:19 ]
- >>89
【漸化式】(Segner)
c_n = (1/(n+1))Ｃ[2n,n], c_0 =1 とおくとき、
c_(n+1) = ∑[k=0,n] c_k･c_(n-k), (n≧0)
(略証)
マクローリン展開により
1/√(1-4x) = ∑[n=0,∞) Ｃ[2n,n] x^n,
xで積分すると
√(1-4x) = 1 - 2∑[n=0,∞) Ｃ[2n,n](1/(n+1)) x^(n+1)
= 1 - 2∑[n=0,∞) c_n･x^(n+1),
両辺を2乗して
1 -4x = 1 -4x + 4∑[n=0,∞) {- c_(n+1) + ∑[k=0,n] c_k･c_(n-k)} x^(n+2),
よって {……} = 0, (終)
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