- 93 名前：208 [2005/11/28(月) 10:57:28 ]
- K を可換体、X を K 上の n 次元のベクトル空間とする。
X の１次元の部分空間の全体は射影空間となる。
では、X の p 次元の部分空間 E の全体はどうか？
これが Grassmann または Plucker の問題意識だったのではないか。
E の基底 x_1, .., x_p に対して x_1Λ...Λx_p ∈ (Λ^p)X
を考える。E の別の基底 y_1, .., y_p に対する y_1Λ...Λy_p は、
x_1Λ...Λx_p と定数倍の違いしかない。よって、これ等は (Λ^p)X
の１次元の部分空間を定める。
よって、集合としての写像 φ: G(X, p) → G((Λ^p)X, 1) が得られる。
ここで、G(X, p) は X の p 次元の部分空間全体の集合である。
G((Λ^p)X, 1) は射影空間 P((Λ^p)X) に他ならない。
容易にわかるようにφは単射である。
では、φ(E) は、P((Λ^p)X) の元としてどのように特徴付けられる
だろうか？
この問題は、次のように言い換えられる。
x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
条件は何か？
ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
一般に、(Λ^p)X の元を p-べクトルと呼び、
x ≠ 0 で、x = x_1Λ...Λx_p と書けるとき、x を 純 p-べクトルと呼ぶ。
X の基底を e_1, ..., e_n とすれば、x = Σa_J e_J と書ける。
ここで、J は 集合 I = {1, ... , n} の濃度 p の部分集合を動く。
よって、上の問題は、x が 純 p-べクトルであるために (a_J) が満たす
条件は何か？
と言い換えてもいい。
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