- 222 名前：208 [2005/12/07(水) 10:52:51 ]
- 命題
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
B を平坦な A-代数とする。任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B)
となる。ここで、等号は B-加群としての同型を表す。
証明
任意の A-加群 P に対して
F(P) = Hom(P, N)(x)B
G(P) = Hom(P(x)B, N(x)B) とおく。
任意の射φ: P → N
は φ(x)1: P(x)B → P(x)B
を誘導するから、射 F(P) → G(P) が得られる。
M は有限表示を持つから完全列
L_2 → L_1 → M → 0
が存在する。ここで、L_1, L_2 は有限生成自由加群。
よって次の可換図式が得られる。
0 → F(M) → F(L_1) → F(L_2)
｜ ｜ ｜ ｜
0 → G(M) → G(L_1) → G(L_2)
水平の列は完全である。
F(A) = Hom(A, N)(x)B = N(x)B
G(A) = Hom(A(x)B, N(x)B) = N(x)B
だから、L が A 上の有限生成自由加群のとき、
F(L) → G(L) は同型である。
よって、上の可換図式の右の縦２列は同型である。
よって、左端の F(M) → G(M) も同型である。
証明終
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