- 35 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/16(金) 10:12:04 ]
- ガロワ理論のスレで書いたことやや一般にして再度述べる。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
判別定理の証明のために以下の仮定をする。
Aの各(非零)素イデアルpに対して、A/p は完全体である。
Kが代数体のときは A/p は有限体だから、この仮定は当然満たされる。
TrをLからKへのトレース写像とする。
M(L/K) = {ξ∈B; Tr(ξB) ⊂ A} とおく。
M(L/K)は B を含むBの分数イデアルである。
D(L/K) = M(L/K)^(-1) とおく。D(L/K)をL/Kの共役差積という。
D(L/K)はLの整イデアルである。
L = K(θ) となるθ∈B に対して、F = {ξ∈B; ξB ⊂ A[θ]}
を環 A[θ] の導手(fuhrer)と呼ぶ。F は B のイデアルである。
f(X)∈A[X] をθの最小多項式とする。f'(X) をf(X)の微分とする
と、f'(θ)B = D(L/K)F という関係が成立つ。これはf(X)に関する
Eulerの公式から得られる(例えば高木の代数的整数論参照)。
命題
PをLの任意の(非零)素イデアルとしたとき、P が F を含まないような
θ∈B が存在する。
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