- 474 名前：470 [2005/05/29(日) 19:51:14 ]
- ＞実はこの公理から排中律が導びかれてしまう
文献を参照する必要も無いくらい簡単な話で、任意に取った命題 Ｒ に対して
( Ｒ ∧ x=0 ) ∨ x=1 という命題を Ｐ
x=0 ∨ ( Ｒ ∧ x=1 ) という命題を Ｑ
と書くことにすると、∃xＰ も ∃xＱ も共に成り立つから、εxＰ は Ｐ を満たし、
εxＱ は Ｑ を満たす。これは
( Ｒ ∧ (εxＰ)=0 ) ∨ (εxＰ)=1
(εxＱ)=0 ∨ ( Ｒ ∧ (εxＱ)=1 )
が共に成り立つということを意味する。
そこで、(εxＰ)=0 の場合と (εxＰ)=1 の場合で場合分けをし、更に 、(εxＱ)=0
の場合と (εxＱ)=1 の場合で場合分けをすれば、
CASE1：(εxＰ)=0 又は (εxＱ)=1 のとき。いずれの場合でも Ｒ が証明される。
CASE2：(εxＰ)=1 かつ (εxＱ)=0 のとき。Ｒ を仮定すると ∀x(Ｐ⇔Ｑ) が成り立
つので、ε公理により (εxＰ)=(εxＱ) が成り立つので矛盾する。言いかえ
ると Ｒ⇒⊥ すなわち ¬Ｒ が成り立つ。
すなわち Ｒ∨¬Ｒ が成り立つ。命題 Ｒ は任意だったので、これは排中律が成り
立つことを意味する。証明終わり。
|
 |
