- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 20:05:44.00 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その8
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1309406249/
- 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 20:06:52.60 ]
- 過去スレ
数学基礎論の質問スレッド
その1 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/
その2 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264/
その3 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170584559/
その4 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207899938/
その5 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1244375946/
その6 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/
その7 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289481237/
関連スレ
非古典論理について語るスレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
集合論について語るスレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1228995380/
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/
基礎論なぜなにスレッド
cheese.2ch.net/math/kako/970/970523340.html
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/
圏論信者VS基礎論信者VS数学者
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1288001068/
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 20:08:02.66 ]
- 以上テンプレ
★こちらが本スレになります★
- 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 20:17:43.21 ]
- ◆スレタイ変更議論◆
スレタイの数学基礎論を数学の基礎的な理論と勘違いされ
「この2次方程式の解き方を教えてください」などという質問がされる場合があり
スレタイを変更すべきだという議論があります
変更案としては
数学木曾論・数理論理学 その**
數學木曾論・數理邏輯學 その**
メタマス・数理論理学 その**
などがあります
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 20:41:45.36 ]
- 『帰納的関数と述語』 (数学基礎論シリーズ) [単行本] 篠田 寿一
手に入れたいんだけど図書館にも紀伊国屋にも売ってないんだよね
ネットで買えるかな
- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 20:46:23.94 ]
- それ凄い欲しいんだけど
もう手に入んないと思うよ。
- 7 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/03(月) 20:47:51.87 ]
- そっかorz
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 22:39:52.12 ]
- 基礎数学と数学基礎論
数理論理学と論理数学
数理哲学と哲学数理
- 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 02:03:03.07 ]
- 単純に
数理論理学 そのxx
でいいんじゃないの？
数学基礎論なんて古い大時代的で大袈裟な呼び方はイイカゲンやめようよ。
そんな恥ずかしい呼び方を大っぴらに使ってるのって日本だけじゃないか。
他は数理論理学に相当するMathematical Logicと呼ぶのが普通で "Foundations of Mathematics" はかなり特殊で稀にしか使わないでしょ。
そもそも、今や「基礎論屋」と呼ばれる人達の中ですら、「数学基礎論」という言葉が元来表していた研究目的である
「数学に対する基礎付けを与える事」を目的として研究している人なんて現実にいないじゃないか。
- 10 名前：9 mailto:sage [2011/10/04(火) 02:08:57.74 ]
- 公理的集合論・数理論理学 そのxx って名前でスレが立ってたんだ
それじゃそいつでいいよ。ともかく基礎論なんて前時代的で専門家にとっては実態とかけ離れ初心者には勘違いを助長する
そんな百害あって一利なしな名称は止めよう。
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 02:49:16.45 ]
- 908 ：１３２人目の素数さん：2011/09/17(土) 17:29:04.91
「数学の基礎的な質問」みたいなのには閉鎖的にしたいけれど、
ロジックに興味のある高校生・専門外の人にはオープンにしたいよね。
玄人には「数理論理学」が好まれているようだけど、
高校生や専門外には「基礎論」の方がまだまだ通用する気がする。
とすると>>905案くらいが妥当かと。
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 04:57:32.32 ]
- 数学：2ch勢いランキング
2011年10月4日 4:50:58 更新
1位 new 超数学・数理論理学 その9 4 100
6位 ↓-3 数学基礎論・数理論理学 その9 11 30
8位 ↓-6 公理的集合論・数理論理学 その9 8 23
13位 = 数学基礎論・数理論理学 その8 998 10
18位 = メタマス・数理論理学 その9 6 8
26位 ↑5 數學木曾論・數理邏輯學 その9 19 5
- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 08:23:32.92 ]
- ちと悪乗りが過ぎるよな
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 10:34:46.68 ]
- スレタイ変更の議論がまとまるまではスレタイはそのままの方が良いと判断しました。
反論があれば承ります。
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 12:42:48.11 ]
- 幾らスレタイが気に入らないからと言ってスレッドを乱立させるのは言語道断。
次々立てた連中もクソだし、自分で立てろと煽った「數學木曾論・數理邏輯學」派も同罪。
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 12:53:09.81 ]
- ぱかの自滅
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 14:20:39.33 ]
- >>15
＞ 自分で立てろと煽った「數學木曾論・數理邏輯學」派
煽ったのは「數學木曾論・數理邏輯學」派ではなく通りすがり
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 14:32:27.12 ]
- >>17
本人乙
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 18:16:19.31 ]
- 前スレ908(>>11)が書いている理由によりスレタイはこの「数学基礎論・数理論理学」が理想。
ただし「数学の基礎的な質問」を避けるために理想通りには行かないというのなら
変更は最小限として「基礎」を「木曾」「木曽」に置き換えるだけにするべき。
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 19:30:10.55 ]
- バカ木曾じゃ人姓だろうが
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 19:47:10.70 ]
- 山口？
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 20:00:16.61 ]
- ちょっと木曾義仲がとおりますよ
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 20:09:37.44 ]
- 基素とかでいいよもう
- 24 名前：テンプレよろ mailto:sage [2011/10/04(火) 21:05:00.04 ]
- ●命題論理
命題論理記号：¬,∧,∨,→,⊥(〜でない,かつ,または,ならば,矛盾する)
原子命題：a,b,c... ※a＝「1+1＝2」,b＝「2は素数」など。
原始命題は命題。a,bが命題のとき¬a,a∧b,a∨b,a→bは命題。
真理値関数V：命題aが真ならf(a)＝1,偽ならf(a)＝0とする。
aが原子命題のときV(a)＝f(a)
V(¬a)＝1⇔V(a)＝0
V(a∧b)＝1⇔V(a)＝1かつV(b)＝1
V(a∨b)＝1⇔V(a)＝1またはV(b)＝1
V(a→b)＝1⇔V(a)＝0またはV(b)＝1
Vは一意に存在。トートロジーとは任意のVでV(a)=1となる命題a( |＝ a と書く)。
|＝ a→(b→a)
|＝ (a→(b→c))→((a→b)→(a→c))
|＝ (¬b→¬a)→(a→b)
上の3つのトートロジーを公理と呼ぶ、まとめて理論と呼ぶ(集合Tや{a}と書く)。
理論Tのすべての公理を1にする関数Vが命題pを1にすることを T |＝ p と書く。
公理は定理。a→bとaが定理ならbも定理。(MP,三段論法,cut等と呼ぶ)
aが定理ならaは証明可能( |― a と書く)。
有名なトートロジー： |＝ ¬a→(a→b), |＝ ¬¬a→a
演繹定理：T∪{a} |― b ⇔ T |― a→b
命題aとbで |― a→b∧b→aならaをbに書換え可能でa≡bと書く。
a→b≡¬a∨b,¬a∨¬b≡¬(a∧b),⊥≡¬(a→a)など。
T |― ⊥ のときTは矛盾すると言う、そうでないなら無矛盾。
T∪{¬a} |― ⊥ ⇔ T |― a 。
命題論理の完全性定理：|＝ a ⇔ |― a
命題論理のコンパクト性定理：
理論Tの任意の有限部分集合Aの全命題を1にする関数が存在⇒Tの全命題を1にする関数が存在。
命題論理のコンパクト性定理⇔離散位相の入った位相空間{0,1}^Nがコンパクト。
- 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 21:07:58.29 ]
- 基礎論なんて専門にやってる奴いるか？
モデル論やってる奴とか公理的集合論やってる奴の余技にすぎないだろ。
新たな発見もなく進歩も全くない分野のトピックスなんて過去スレで殆ど取り上げられてないやん。
前スレで「これぞ基礎論の話題」なんてのがあったか？なかったろ？
前々スレだってそうだ
もうスレタイから基礎論を外してもなんの問題もない。
- 26 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/04(火) 21:10:06.29 ]
- 基礎論が何を指しているかが問題なんだよ。
- 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 21:50:39.14 ]
- 再帰的関数論って数理論理学に含まれんの？
- 28 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/04(火) 21:57:32.39 ]
- 当たり前じゃん
計算論とかに入ってるよ
それないと不完全性定理も理解できないし
- 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 22:44:59.12 ]
- Part III. Recursive Functions
www.amazon.com/Introduction-Metamathematics-Stephen-Cole-Kleene/dp/0923891579/
- 30 名前：ルーキー読書 mailto:sage [2011/10/04(火) 23:23:38.05 ]
- 今論理学勉強しています。
それをプログラミング言語につなげたいと思っています。
論理学の後は数学基礎論をやって、その後計算機科学
次に集合論として、最後にプログラミングをやろうと思っています。
このプランについて意見を聞きたいのですが。どうでしょうか。
- 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/04(火) 23:35:49.79 ]
- プログラミングの何を研究するつもりですか？
- 32 名前：ルーキー読書 mailto:sage [2011/10/04(火) 23:43:56.11 ]
- c言語です。最終的にはＤＢやその他上級情報処理試験を合格したいです。
そもそも図書館職員になるための頼れる情報技術を身につけることを
目標にしつつ、なおかつ電子書籍化の技術に対応できるようになりたい
というのが目標です。
- 33 名前：ルーキー読書 mailto:sage [2011/10/04(火) 23:54:31.20 ]
- だけど理系ですらありませんotl
- 34 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/05(水) 00:00:35.47 ]
- 数学基礎論も集合論も余り関係ないのでは。
良くても集合演算くらい。
情報処理試験は専用テキストと過去問やった方が良いよ。
上級でも基礎科学は凄い簡単だから。
ビット演算を確実に抑えて、離散数学の簡単な
問題が解けるようになれば良し。
上級なら符号理論とかの基本にも触れとく。
数学基礎論は相当遠回りになる、というかあまり関係ない。
だから数学に関しては情報学科の離散数学とか論理計算みたいなのが良い。
あと実際教本片手にプログラミングをやった方が良い。
計算機科学に詳しくなるというより
どーでも良い知識を捨てて実務に徹する方が良い。
OSとかコンパイラとかネットワークとかDBの導入とかできるように
なるためには実践がすべてだろう。
- 35 名前：ルーキー読書 mailto:sage [2011/10/05(水) 00:07:39.29 ]
- ありがとうございます。離散数学と論理計算やってみます。
- 36 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/05(水) 00:15:51.70 ]
- >>35
あくまで過去問準拠で。
情報系の試験の基礎科学の部分は昔から
ほとんど変わってないから
ニュートン法とか数値解析みたいなのがたまに出題されるけど
個別に学習すると厳しいので過去問でやった方が良い。
完ぺきにやるなら結局微積線形数理統計など
理工学部教養課程がまんま必要になっていまうが、
遠回り過ぎるし他に労力回した方がまし。
（計算機科学は実務で不要＆情報処理はただの教養）
- 37 名前：ルーキー読書 [2011/10/05(水) 00:49:50.83 ]
- なるほど。色々ありがとうございます。参考になりました。
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 00:55:30.71 ]
- こんな時間に本スレで自演荒らしかよ。
お前だろ、スレ乱立したのは。
- 39 名前：ルーキー読書 mailto:sage [2011/10/05(水) 01:02:51.13 ]
- 自演ではありません。ただスレを汚してしまい申し訳ありません。
- 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 01:06:40.34 ]
- >>25
「数学基礎論」は「数理論理学」の別名というか旧名だ。
モデル論も公理的集合論も数学基礎論の一部だ。
>>11が言ってるのは、専門家には旧名は不評だが、
専門外では旧名のほうがまだまだ通用するから併記すべきってことだろ？
- 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 02:54:35.67 ]
- で結局、木曾と山口人生にどのような関係が？
- 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 02:58:57.47 ]
- >25
お前はテンプレが目に入らないのか？
＞数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
＞19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
＞現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
＞多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
このテンプレに従う限りモデル理論も公理的集合論も数学基礎論の一部なのだよ
- 43 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/05(水) 08:39:33.56 ]
- umu
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 12:17:18.65 ]
- 誘導されてきました
それで質問なんですが
ゲーデルの完全性定理って
数学には矛盾がなく、それによって得られた結果は正しい
ってことを保証しているんですか？
- 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 12:36:07.25 ]
- ＞ 数学には矛盾がなく、それによって得られた結果は正しい
＞ ってことを保証しているんですか？
完全性定理の扱う数学の範囲では、そう。
ここでいう「扱う」は「仮定する」と言う意味と同じ。
数学は、仮定によっていろいろと変わる。
仮定を少し変えて意図的に矛盾した体系を作ることも容易。
- 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 12:38:10.67 ]
- >>４４
完全性定理の扱う数学は
現在の通常数学と呼ぶものに比べてかなり狭い範囲なので
それを一般的な数学に当てはめてはいけない。
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 13:52:13.29 ]
- 470 名前：468 [sage] 投稿日：2011/10/05(水) 11:45:14.16
www.nabejuku.net/nabeblo/?p=2882
ここのサイトに書いてあったんですが、違うってことですか？
- 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 13:53:49.62 ]
- 基礎論ってアマに人気あるね。
- 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:19:15.86 ]
- 数学を憎む人が多いからかしらね
逆に、数学好きからは疎まれる…
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:40:31.03 ]
- >>47
そのサイトの記述は正しくない。
完全性定理と不完全性定理は、それぞれ異なる仮定に基づいている。
よって
＞ 「「数学は正しいのです。正しいものだからこそ、無矛盾を証明できなくなるんです！」
という解釈は、通常ありあえない。
不完全性定理について簡単に言い直した、という
＞ １、「数学では『証明可能』か『証明不可能』かが分からない命題が存在する」
これは正しくない。
同じような言い方に直すなら（多少強引だが）
「数学には、正しいにも関わらずその証明は不可能な命題が存在する」
のほうがより自然。
その後の、
＞ 「証明可能」か「証明不可能」かが決定できないことが分かっている問題として、
＞ 「連続体仮説」が有名です。（1963）
ここも、不完全性定理とは関係ない。
そして、最後の
＞ ここで書いたことは、ほとんどの人が感じている「数学って正しいだろうけど、数学で全てのことが
＞ 分かるわけじゃないよね」なんていう、ごくあたり前の結論とほぼ同じなんですから！
この結論はあくまでもその文の著者が書きたいことであって
不完全性定理が示す結論とはほぼ関連性はい。
- 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:42:43.76 ]
- >>48
プロの中で、基礎論に興味だある人の比率と
アマの中で、基礎論に興味だある人の比率とでは
プロの方が多いと思うんだがどうだろうか。
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:45:36.25 ]
- 国民の数学に対する意識アンケートでそういうデータがあれば面白いのだが。
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:54:01.73 ]
- >>50
この手の文章の中では比較的まともな部類ではないか？
大きな方向性で間違っているわけではないと思う。
明確に間違っていると言えるのは
＞ 「証明可能」か「証明不可能」かが決定できないことが分かっている問題として、
＞ 「連続体仮説」が有名です。（1963）
の部分くらいかな、連続体仮説は証明不可能と決定されてるので。
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:54:33.06 ]
- >>47
そのサイトは言ってることがむちゃくちゃ。
＞ 「完全性定理」で矛盾が無いことが分かったのに、
＞ その矛盾が無いことを証明できないって言うんです。
おいおい、完全性定理で証明できたんじゃないのか？
＞ 数学には矛盾が無い。つまりしっかりとした論理体系ができているのです。
＞ だからもし「矛盾がある」としても、数学自身はそれを「正しい」とも「誤っている」とも
＞ 言えないことになるんですね。
逆。 もし矛盾があったなら、正しいとも間違っているとも言う事ができる。
（矛盾を仮定すれば、どのような結論も導くことだできる）
そもそも 「矛盾は無い、だからもし矛盾があるとしても」 ← どういう論理やねん。
なぜ、そんなむちゃくちゃな解釈になるのか。
それは、完全性定理と不完全性定理では、何が完全か、何が不完全かの
「何が」（つまり対象が）異なっていることを著者が理解していないから。
別のものをそれぞれ指して、 こっちは完全。こっちは不完全。 と言っても、そこには何も不思議はない。
無理な解釈をする必要もない。
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:56:37.54 ]
- >>53
それは怪しげな社会科学系での無茶苦茶な引用に比べればって話なのか？
- 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 14:57:29.04 ]
- プロの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で基礎論に興味がある人の比率
ではなくて
アマの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で解析に興味がある人の比率
アマの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で幾何に興味がある人の比率
...
という意味だろう
アマで一番人気は数論かな？やっぱり
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:00:15.72 ]
- >>53
そのサイトの記述は完全不完全の解説としては不適切。
おそらく 書写は 完全 と 無矛盾 が 区別できていないように 見受けられる。
「比較的まとも」というのは、数学としてでなければまあ同意。
それほどに不完全性定理のキチガイ引用率は高い。
- 58 名前：57 mailto:sage [2011/10/05(水) 15:01:28.97 ]
- 失礼
× おそらく 書写は
○ おそらく 著者は
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:05:02.42 ]
- >>56
A ：＝ アマの中で基礎論に興味がある人の比率 / アマの中で解析に興味がある人の比率
P ：＝ プロの中で基礎論に興味がある人の比率 / プロの中で解析に興味がある人の比率
A ＞ B
でないの？
＞ アマの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で幾何に興味がある人の比率
初等幾何まで含めると、これは成り立たんだろ。
プロにも初等幾何マニアは案外多いみたいだが
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:07:13.89 ]
- >>54
偉そうなこと言う前に勉強しなおしてきな。何も分かってないのはお前だよ。
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:12:20.56 ]
- 古い本だけど、「ゲーデル・エッシャー・バッハ」とかよく売れたと聞く。
購入者はアマが多いだろうな。
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:12:21.17 ]
- >>54がどこがわかってないのか、>>60が解説するそうです。
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:12:53.81 ]
- >>61
そりゃプロよりアマの方が母数も多いわけで
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:12:56.00 ]
- ここは諍いが絶えないね。
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:14:04.51 ]
- 母数多くても専門書は門外はまず買わんよな。
- 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:14:14.98 ]
- 他人を蔑むだけで、正しい意見どころか、相手の意見の否定すら言わないくらいだからね。
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:15:24.72 ]
- >>65
専門書はそうだろうが、突然どうしたんだ？
- 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:16:26.35 ]
- >>60
で、君は何が解っているの？
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:17:13.52 ]
- 不完全性定理の場合、巷の解説の基地外率とここの基地外率は余り差がないような。
完全性定理と不完全性定理は適用範囲が重ならないから相反しないって素人の典型的な誤解じゃねーか。
ブルーバックスの解説しか読んでない連中が多いんだな。
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:17:49.54 ]
- いや、アマチュアと高等数学の関係を妄想していたら浮かんだ独り言だ。
意識の調査データが欲しいね。
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:18:06.44 ]
- 完全性＝証明が可能か不可能か決まること
無矛盾性＝ある命題Pが真かつ偽でないこと
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:19:15.57 ]
- >>69
＞ 適用範囲が重ならないから
こんなこと誰が言った？
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:20:51.14 ]
- A ＝ ｛１，２，３｝
B ＝ ｛１，２，３，４｝
Aと B は 異なるが 重なってはいる。
そういことだろう。
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:21:21.35 ]
- 素人の 典型的な誤解だな。
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:22:38.40 ]
- ブルーバックスには完全性定理と不完全性定理は
適用範囲が重ならないから相反しないなんて書いてあるのか。
どの本？
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:23:29.49 ]
- >>71
その理解じゃいつまで経っても>>54と同レベルの理解しかできないぜ
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:23:42.97 ]
- 哲学風に言葉捏ねてるだけじゃマトモな結論は出ないんだよね。
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:25:34.79 ]
- >>69
ここはそういうことに興味があるひとしか来ない場所であって
さらには参加自由で、学識も要求されない。
巷よりは高くなるのが普通だと思うんだが
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:26:16.03 ]
- >>66
ほんとにお前の言うとおりだな。
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:27:04.29 ]
- DQN率が高いと
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:29:54.13 ]
- >>69
で、 君の考えでは ふたつの定理は相反してるの？
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:31:16.90 ]
- 完全性定理は弱完全性と強完全性の二つがあるけれど、強完全性として理解すると、
自然数論も適用対象に入るので「自然数論は完全である」という結論が得られる。
そして不完全性定理はもちろｎ「自然数論は不完全である」と言っている。
さてどういうことか。
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:31:17.22 ]
- 莫迦にする人の多い放送大学ですら、きちんとした不完全生定理がテーマの講義が有るのだが。
目標はその証明の理解。
ブルーバックス読むくらいなら、それを受講した方が良い。
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:32:45.43 ]
- 第二不完全性定理の理解があやふやだから
誰かｋｗｓｋ教えてくれ
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:33:19.70 ]
- >>83
その講義、以前きいてみたが、前半で力尽きた。 起きてられない。
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:36:29.55 ]
- >>82
強完全性とするなら、前提として無矛盾であることが要求されると思うんだが。
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:42:27.84 ]
- >>84
数学に矛盾がないとしても、数学自身ではその無矛盾性を証明できない
嘘つきのパラドックスがいい例なんだが
「私は正直者である」
という文がある。
これは私が正直者であっても嘘つきであっても成り立つ
よってこの文は無矛盾
しかし「私は嘘つきである」という文からでは私が正直者なのか嘘つきのか決定することはできない
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:44:14.62 ]
- 「私は正直者である」という文からでも
私が正直者なのか嘘つきのか決定することはできない、と思いますが？
- 89 名前：官軍（中尉）(＾ｏ＾) mailto:sage [2011/10/05(水) 15:50:02.54 ]
- 「論理学の完全性」，「算術の不完全性」----- いずれも潰れる。
# 長くもって、１０年だ、 (^o^) (^o^) (^o^)
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:51:10.91 ]
- 基地外がホイホイ獲れるテーマ
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:51:35.80 ]
- ＞71
無矛盾の定義が間違っているよ。真かつ偽になることなんて最初からあり得ない。
完全の定義は正しいけれど、それだけでは>>69や>>82の言っていることは分からないだろうな。
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:53:11.86 ]
- 否AとAが演繹されるなんてしょっちゅうw
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:54:36.04 ]
- 背理法でちゅね。だからおみゃーの言っとることは間違っとるとw
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 15:55:58.69 ]
- 区体論を学べばすべては解決
- 95 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/05(水) 15:57:44.34 ]
- あと今井数学も
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 16:11:55.10 ]
- もう基地外ショーは終わりか？ついさっきまではホイホイ獲れたのに残念だな。
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 16:26:13.32 ]
- 得意げに不完全性定理を解説している連中も
その解説が誤りだと得意げに指摘している連中も
どちらも大多数は基地外だということがよく分かりました
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 16:30:12.18 ]
- サイババが生きていたらなあと思う
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 16:52:32.83 ]
- >>91
完全性の定義も思いっきりおかしいだろ。
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 17:28:48.69 ]
- >>66がこれまでの流れの全てを表している
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 18:19:21.72 ]
- >>91
＞ 真かつ偽になることなんて最初からあり得ない。
どこで？
- 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 18:26:29.31 ]
- >>91
無矛盾の定義としては 間違いというほどのものではないと思うが
もしかしてゲーデルの話だからω無矛盾としての定義のことを言ってるのかな？
一方、完全性の定義は
ゲーデルの話ならば、その意味ではなく
「すべての恒真命題が証明可能」の意味だろうと思うがどうか？
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 18:34:26.62 ]
- >>75
ブルーバックスのは未読なんだが
本当に適応範囲が重ならないなんて書いてあるのか？
それはずいぶんひどい本だな。
- 104 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/05(水) 21:45:35.89 ]
- >>44
誘導されてきた？
嘘吐けｗ
このスレを本スレにするために
あえてお馴染みのネタで釣ってレスを伸ばしたんだろう？
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 21:59:33.43 ]
- そうやって初学者を追い出しにかかるあたりいかにも素人
- 106 名前：考えない人 [2011/10/05(水) 22:03:28.57 ]
- まったくだのう・・・
不完全性定理は人間の知性の限界を示したというのに。
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 22:25:37.02 ]
- 神の数学は完全なのですか？
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 22:26:24.74 ]
- ↑グリムの定理
- 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 22:36:36.94 ]
- 全く問題有りません。
神は数学を用いないからです。
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/05(水) 22:48:49.56 ]
- 不完全性定理は数ヲタの知性の限界を示したw
- 111 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/05(水) 22:49:39.00 ]
- 神が用いるのは何ですか？
- 112 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 00:51:44.04 ]
- なんか議論が錯綜しているようなのでまとめると、
健全(論理式が、証明可能⇒真)、完全(論理式が、真⇒証明可能)。
述語論理は健全かつ完全。
述語論理に新公理を追加したPAは健全だが完全でない。
つまり恒真なのに証明不可能な論理式が存在する。
この論理式が存在することを主張するのが第1不完全性定理。
ここでいう不完全とは、論理式に否定記号を付けても付けなくても証明できないってこと。
この定理の仮定で無矛盾が必要な理由は、矛盾してたらどんな論理式でも証明できるから。
で、その論理式が「PAは無矛盾。」だと主張するのが第2不完全性定理。
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 01:16:48.52 ]
- PAって何ですか？
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 01:45:11.08 ]
- Peano axioms
- 115 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 01:50:02.39 ]
- 自然数論を含まないような数学的体系って考えられないの？
- 116 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 01:51:08.40 ]
- どういう意味？
- 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 02:00:24.41 ]
- 自然数論を含まないような公理系。『群論』がそうらしい。
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 06:39:37.79 ]
- >>112
>つまり恒真なのに証明不可能な論理式が存在する。
それは違うのでは？
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 06:47:03.81 ]
- 北田均著「ゲーデル 不完全性発見への道」ってどうなんでしょう。
- 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 06:47:40.93 ]
- >>112
無矛盾って仮定してるわけですから
矛盾している可能性もあるんですよね？
- 121 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 07:25:32.48 ]
- >>115
自然数論を含まない体系は数学的体系と呼ばないのでは？
>>118
そうですね。
正確にはPAの論理式で、PAのモデル、例えばNで解釈すると真になるのに
PAから証明できない論理式が存在するってことですね。
>>120
そうですね。
しかしPAに限っては全く別の方法で無矛盾性が証明されています。
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 10:29:26.63 ]
- 確か超限順序数を使うんだっけ？
- 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 10:32:18.01 ]
- もろ集合論依存じゃん。集合論怪しいのに。アホ臭。
- 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 10:40:56.04 ]
- >>121
プレスバーガー算術知らないの?
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 10:43:11.35 ]
- 文系はwikiと２ちゃんで聞きかじったみたいな知識で荒らすのやめてねｗ
- 126 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 11:29:24.16 ]
- 実閉体の理論は数学じゃないのか
- 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 15:19:07.29 ]
- >>123
お前、有限の立場って言葉知らないだろ
だってお前アホっぽいもん
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 15:30:46.43 ]
- 制限した怪しくない集合論なんて認めん。
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 15:38:08.40 ]
- ４７の筆者です。確かに素人が手出しする内容ではないですね。
もう少ししっかりと理解した内容で、更新していきたいと思います。
何だか議論をさせて申し訳なかったのですが、
いつも取り上げられないブログが、こうやって議論されて
更に自分の無理解を示していただいたことに感謝します。
また混乱させてしまった方には申し訳ありませんでした。
- 130 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 20:32:26.72 ]
- >>122
そうですね。
>>123
有限の立場の超限順序数論だから集合論なんて出てこないよ。
それに1階述語論理自体もモデルが暗黙裡に集合論の
性質に依存してると思いますよ。
>>124>>126
それを通常の数学と呼ぶかどうかによると思う。
足し算と掛け算に関連する公理が揃ってなかったら
対角化定理が証明できなくなって不完全性定理は成り立たないけど
最低限自然数使えんと数学とは言えんと思うんですよね。
単なる言葉の使い方の問題ですけどね。
- 131 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 20:38:26.43 ]
- 足し算かけ算ができない実閉体の理論って初めて聞いた
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 20:40:39.90 ]
- 数理論理学や数学基礎論といっても所詮は単なる応用数学だな。
微分幾何や代数幾何、微分方程式論等とさほど変わらないのだよ。
だからこそ、数論のモデル理論への関わりがあったりするわけで。
- 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 20:42:50.02 ]
- >>121
＞ 自然数論を含まない体系は数学的体系と呼ばないのでは？
そのままではちょっと勇み足な感じがしますね。
自然数論を含まないもののみで数学を再構築しなおすには
これまでの（自然数論を含む）数学の結果の大半を破棄することになるので
今後、自然数論にかわるよほどのものがでてこない限りは
数学が（多様性も魅力も力も）乏しいものになってしまいかねないので、難しい。
というような意味なのでしょうけど。
- 134 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 21:11:06.55 ]
- 足し算掛け算がなければ不完全性定理が成り立たない。
プレスバーがと代数閉体は
不完全性定理が成り立たないんじゃなくて
無矛盾で完全な理論ってこと。
不完全性定理の前提に
「Qの再帰的拡大」があることを忘れてはならない。
例えば真の算術の場合はQを含むが再帰的拡大じゃない。
真の算術の公理を判定しようとしても
チューリングマシンが停止しない。
- 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 21:16:17.00 ]
- 証明判定機を述語記号として追加すれば再帰的である必要はないよ
胡散臭いけど
- 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 21:52:45.82 ]
- 実閉体(代数的閉体でも良いけど)ではそもそも理論内部で自然数が定義出来ないから、完全でも無問題。
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 22:40:09.88 ]
- 例えば有限群において、何らかの性質が成り立つことを要素の数による場合分けを使って証明している場合、
それはモデルによる証明である（形式的証明ではない）と言えるんでしょうか？
- 138 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 23:06:50.46 ]
- 普通に数学やるときの証明と
述語論理での論理式の証明は違うんですよね。
有限群の性質を論理式に置き換えたものがあって、
AのときはB、CのときはDなんかは、
(A→B)∨(C→D)なんて形をしていて、
いくらAとかBが複雑だろうと、証明できるなら
その中にある原始論理式が真になれば
全体が真になるんですよね。
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/06(木) 23:41:25.09 ]
- 仮定となるAやCが論理式に置き換えられないときはどう？
- 140 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/06(木) 23:57:03.77 ]
- ZFCなら現在研究されている
ほぼすべての数学を論理式に置き換えられると言われている。
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 00:08:41.40 ]
- なんかずれてるな。
それと意味なくageるんじゃない。
- 142 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 00:12:30.93 ]
- sageないと怒る奴は頭おかしい
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 01:16:36.59 ]
- 「お願い」だろ
- 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 03:12:44.96 ]
- >>103
こんなこと書いてあるのを見つけた：
＞著者は、また、自然数論は完全性定理が成り立つには強すぎる体系である旨の主張もしている。
taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-2.html
>>112
上のリンク先を読んで勉強しなおして来い。
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 03:54:21.09 ]
- あーあ、折角バカがホイホイ獲れてたのに、答え教えちゃって...
- 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 08:04:18.24 ]
- >>142
同感です。
>>144
述語論理の完全性と
Σ1文の完全性が混同されているという例ですね。
- 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 08:23:01.47 ]
- アレフゼロって概念が意味わからんわ
これが最初の無限とか言ってるのもわけわからんし、第一勝手に1を加えていってω_1、ω_2・・・としていくのも納得いかん
1加えて大きくなるんならまだ無限じゃねーだろ
エリート文系にわかるように説明してけれ
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 11:03:45.71 ]
- 結構素朴な難問だったりする？
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 11:51:52.49 ]
- ＞1加えて大きくなるんならまだ無限じゃねーだろ
これが間違い。例えば順序数は無限だが常に
α+1＞αを満たすように作られている。
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 11:58:26.50 ]
- 順序数、整列集合ぐらい位相やるとき仕込むだろ、あんぽん。
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 14:42:20.18 ]
- 円周率の中に例えば20個連続した7があるかどうか決められてるっていうところとか
有界の単調増加数列で区間を2等分して数列が存在してる方の右側区間を選んでいけば
上限値が決められるっていうところも自然数全体を数え切ったうえでないと区間に
点列が存在するかどうかなど決められるわけがない
だとすれば自然数には最終項がなければいけないのに自然数の定義から矛盾が生じると
いって排除されてしまう
ここのところをどうやって実数とか排中律を理解していけばよろしいのでしょうか？
- 152 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 15:59:37.00 ]
- >>151
リトルウッドという数学者が、ある定理（Aとする）を証明するのに、
「リーマン予想が真ならばAが成り立つ。リーマン予想が偽ならAが成り
立つ。よってAが成り立つ」という論法を使ったことがあるそうです。
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 20:03:29.46 ]
- >>147
(自然数と有理数は一対一対応があるのに)
自然数と実数は一対一対応がないから、
濃度に複数あることは認めざるを得ないのでは?
認めない立場なら実数をあきらめないといけない。
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 20:23:04.83 ]
- >>146
同感です。
述語論理の関数・述語記号は、
関数と述語が入る変数。
ですから述語論理の完全性は
どんな関数や述語でも成り立つような規則なんです。
一方で理論特有の完全性定理とは、
何らかのモデルで具体的な関数・述語を解釈した場合の規則。
ですからこの2つ完全性定理の完全性は定義が異なるんです！
さらに不完全性定理の完全性もまた定義が異なる！
つまるところ3つの完全性があることに注意しなければならないんです＾＾；
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 20:24:19.55 ]
- >>152
排中律に∨elimを組み合わせたわけだな
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 21:29:14.39 ]
- >>152
その証明中にリーマン予想の真偽が有効に使われているんなら面白いな。
どんなモデルでも成り立つなら形式的証明が可能、って何か不思議だね。
理論Tの中で文Aを証明しようとして、
モデルの全要素数が偶数のとき、奇数のとき、無限のとき、いずれもAが成り立つ
がそれぞれ言えればAが証明できたことになる。
でもTが弱くて要素の数なんて概念を表現できないときは、この議論を形式的証明に翻訳
することはできないよね。
それとも必ず別な証明方法があるってこと？
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/07(金) 22:01:04.57 ]
- >>150
近頃の大学じゃそんなマニアックなことまでやらないよ
- 158 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 22:13:19.25 ]
- キヨスクに集合論独立性証明へが並ぶ日は遠いだろうな
- 159 名前：112 [2011/10/08(土) 01:10:39.25 ]
- なんか釣り文書いてしばらく立ったら予想以上の収穫だったので種明かし。
俺は>>112の1段落で述語論理の健全性と完全性の議論をしている。
ところで3段落ではPAという理論についての健全性と完全性を議論している。
もちろん標準モデルを非明示的に仮定している。
つまりΣ1完全性定理のことで、これを受けて
第1不完全性定理がΠ1文の中に存在する具体的な論理式の存在を直接言及することを指摘した。
随分レスも伸びたしこのスレを自分が掌握していることを再確認した。
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 01:30:53.66 ]
- >>159
2chで釣り宣言をやるのはかなりの…
ソーカル事件みたいに実名でやるなら有効だけど。
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 04:59:28.54 ]
- >>112
一人で悦に浸っているところ恐縮だが、
君がその釣り文書書く前（つまり112以前）から、
同じような釣りがあって釣られているレスがあったわけなんだが
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 05:52:27.72 ]
- >>159
どうせ騙るならもっと昔のレス番騙ればよかったんじゃね
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 08:01:55.66 ]
- >>159
tsumaran
>>156
偶数、奇数、無限なんて場合分け普通あるか？
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 09:37:13.30 ]
- >>149
わからんなどうも
α+1＞αを満たすにしても、αが先ずはっきりしてないと定義出来ないんじゃねーの？
そもそもαが無限だって言うならα+1自体がαになるからα+1は記述は出来ても存在しないんでね？
α+1＞αが成り立ってるうちは可算の域を出てないだろ・・・
教授クラスの人説明キボン
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 10:00:44.02 ]
- >>164
>α+1自体がαになる
濃度の大小と「+1」を混同してるだろ？
>>147はお前だよな？
>勝手に1を加えていってω_1、ω_2・・・としていく
の「1を加える」って言葉をあいまいに使ってるから誤解が発生するんだよ。
- 166 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 10:45:30.57 ]
- >>164
加えてるのは自然数の１じゃないんだ
自然数は無限数えるためのカウントに使ってるってことなんだな
濃度の大小が異なる順序数をソートしてるだけんだよ
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 11:07:23.33 ]
- 後続関数も分からん、学習する気もない糞馬鹿なぞ相手にするな。
恐らくパアのβだろう。
- 168 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 11:22:13.26 ]
- 要は順序数同士の大小は濃度を比較しているのではない、ということ。
あとは定義を読めばわかる。
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 11:37:03.43 ]
- >>147
「+1」と「添え字の１」をごっちゃにするなよ。
こうだ
ω、ω+1、ω+2、・・・・・・・・・、ω_1、ω_1+1、ω_1+2、・・・・・・・・・、ω_2、ω_2+1、ω_2+2、・・・・・・・・・
|-------------------- |------------------------ |------------------------´
同じ濃度 同じ濃度 同じ濃度
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 11:42:24.70 ]
- 馬鹿に集合論は無理
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:42:24.77 ]
- 誰か>>156を教えて
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:50:26.16 ]
- β=東大 AGE
これは方程式では無く恒等式。
- 173 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 13:18:27.92 ]
- >>156
もうちょっとステートメントを厳密に言わないと無用の混乱を招くよ
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 13:29:56.10 ]
- >171
Tは要素のパリティを表現できる程度の強さが必要なんじゃね？双対とかそんな感じの。
あと蛇足だけど、偶数の無限と奇数の無限があるから、偶数奇数と無限を切り離して考えるのは無意味。
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 13:35:28.70 ]
- >>164
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
＞数学でいう順序数（じゅんじょすう、ordinal number）とは、
＞整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
(中略)
＞整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G を超限再帰によって
＞G(a) = { G(x) | x < a }
＞と定義したとき、G の値域 ran(G) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。
＞ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
(中略)
＞8. 順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
(中略)
＞9. 順序数の積は一般には可換でない。例えば、2 · ω = ω ≠ ω · 2 である。
- 176 名前：151 mailto:sage [2011/10/08(土) 15:14:07.22 ]
- >>152
選択公理使って矛盾が出れば使わなくても矛盾が出るとかいうことですしょうか？
すみません、そういうのは難しくて理解できないので別の方法で何とか
>>151を理解出来る方法はないんでしょうかね...
- 177 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 15:26:55.25 ]
- スレッドのタイトルの件だが
>>11
＞ロジックに興味のある高校生・専門外の人にはオープンにしたいよね。
↑いま「ロジック」って云ったよね？
つまりその言葉で通じるってことだよね？
英語では、Mathematical logic(数学的論理学)といえば
set theory(集合論)も、model theory(モデル理論)も、
recursion theory(帰納理論)も、proof theory(証明論)も、
含むんだよ。
集合論は論理じゃないなんて馬鹿なこという奴はいない。
むしろFoundations of mathematicsのほうは、
数学における哲学的態度である
Platonism（実在主義）、Formalism（形式主義）、
Intuitionism（直観主義）、Logicism（論理主義）、
等を取り扱うものであるわけだ。
日本で「数学基礎論」という言葉が用いられるようになったのは
ヒルベルトとベルナイスによる本"Grundlagen der Mathematik"
によるところが大きいと思われるが、いまさらヒルベルト計画に
関心をもってロジックをやる奴なんてまずいない。
もう、数学基礎論はやめにしようぜ。
岩波で「数学基礎論」ってタイトルの本が出たから
とかいうのは、全然理由にならないよ。
- 178 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 15:36:54.38 ]
- ＞数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
＞19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
これは正しくないよな。少なくともブール論理を無視している。
フレーゲの概念記法は、集合論とは直接関係ない。
そしてラッセルのパラドックスも、フレーゲの理論に対して
指摘されたものであって、集合論に対するものではない。
カントルは、内包公理を主張したわけではない。
（だから内包公理から矛盾が導かれても、カントルの集合論が
直接ダメージを受けるわけではない。）
ツェルメロの公理的集合論は、カントルの理論を明確化しただけ。
（分出公理の提案は、内包公理から出る矛盾の解決の為、
ということではない。）
- 179 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 15:42:03.55 ]
- 1の文章は、少なくとも
「数理論理学は、証明論、再帰理論、モデル理論、公理的集合論等、
多くの分野に分かれ、純粋数学として発展を続けています。」
で十分。極めて高度な、も不要。言わずもがな。
タイトルで「数学基礎論」といわなければ
「従ってこのスレでは、
基礎的な数学の質問は
スレ違いとなります。 」
という文章は無用。
- 180 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 15:52:26.47 ]
- 私の考える案は以下の通り
タイトル：数理論理学 その**
序文：
数理論理学は、ブール論理、フレーゲの概念記法、
カントールの集合論、等を嚆矢として、現在では、
証明論、再帰理論、モデル理論、公理的集合論等、
多くの分野に分かれ、純粋数学として発展を続けて
います。また代数幾何学等、他の数学の分野、
計算機科学等、他の学問領域とも関連しています。
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 16:41:56.26 ]
- >>177
＞>>11
＞＞ロジックに興味のある高校生・専門外の人にはオープンにしたいよね。
＞
＞↑いま「ロジック」って云ったよね？
＞つまりその言葉で通じるってことだよね？
詭弁を弄するな。
>>11のその発言はこのスレッドの住人に対してであって
「ロジックに興味のある高校生・専門外の人」相手ではない
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:09:55.24 ]
- >>181
詭弁ではないな。
大体、数セミで竹内外史とかの
「数学基礎論とはヒルベルトプログラムのことだ！」
という宣伝文句しか読めなかった世代（今やリッパな中年）
の常識を、今時の若いモンに押し付けるのは犯罪行為ｗ
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:10:20.48 ]
- きっと>>178は国語の成績が１だったと思われる。
＞＞数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
＞＞19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
＞
＞これは正しくないよな。少なくともブール論理を無視している。
＞フレーゲの概念記法は、集合論とは直接関係ない。
＞そしてラッセルのパラドックスも、フレーゲの理論に対して
＞指摘されたものであって、集合論に対するものではない。
ブール論理を無視するとどうして正しくなくなるんだろうか？
引用してるテンプレの部分に「素朴集合論の逆理」という言葉は出てくるけど
ラッセルのパラドックスともフレーゲの理論も出てこない。
その後の文章は「素朴集合論」＝「カントールの集合論」という前提があるようだけど、
テンプレの正しくないと主張する部分にそんなことは書いていない。
つーか、ラッセルのパラドックスは最初はフレーゲの理論に対して指摘されたかもしれないが、
全く同じ論法で素朴集合論における逆理を作れるのだからそれをラッセルのパラドックスと読んで差し支えない。
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:28:20.29 ]
- >>182
「詭弁ではない」と唱えれば詭弁じゃなくなるわけじゃないよ。
根拠を説明できないとね、小学生でも知ってるキホンだよ。
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:29:17.89 ]
- >>183
残念ながら国語の成績は5だった。
1でいう「数学基礎論」が、mathematical logicとしての
数理論理学であるなら、その淵源の中にはブール論理もあるし
フレーゲの概念記法もある。これらは集合論とは関係ない。
「素朴集合論の逆理」というのも正しくない。
「素朴集合論」が「カントールの集合論」とは異なるのは当然だが
それでは「素朴集合論」とは誰がいつどこで言い出したものか
明確に示されたい。おそらく不可能かと思うがｗ
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:33:39.32 ]
- >>183
>つーか、ラッセルのパラドックスは
>最初はフレーゲの理論に対して
>指摘されたかもしれないが、
かもしれない、ではなく、明確にそうである。
根拠を確かめもしない君は、小学生でも知ってるキホンを
公然と無視した点で、リッパな幼稚園児だな。
ちなみに、私は幼稚園には行かなかった。
>全く同じ論法で素朴集合論における逆理を作れる
>のだからそれをラッセルのパラドックスと読んで
>差し支えない。
そう呼ぶのは勝手だが、その場合、歴史とは無関係になる。
つまり、君は歴史を改竄したわけだ。
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:49:05.18 ]
- ＞>全く同じ論法で素朴集合論における逆理を作れる
＞>のだからそれをラッセルのパラドックスと読んで
＞>差し支えない。
＞
＞そう呼ぶのは勝手だが、その場合、歴史とは無関係になる。
＞つまり、君は歴史を改竄したわけだ。
これを歴史の改竄というのなら、人名の付いた数学用語なんて大多数が歴史の改竄だよ。
というか数学の世界では、こういう意味での歴史の改竄なんて気にしないしむしろ積極的にやる。
こういうことを問題視するのなら歴史板にでも帰り給え。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 17:58:07.03 ]
- 文kei、屑哲大暴れ。
- 189 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 17:58:12.87 ]
- 用語や概念を慎重に取り扱うあまり、それらを粗雑に扱う人間に対し
大罪をおかしたかのような言葉を浴びせる人がいますね。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 18:21:45.30 ]
- 「詭弁ではない」の根拠は？小学生未満だと自己認定？
都合の悪い話には無視したままかよ。
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 19:11:08.41 ]
- その屑哲、最初は「公理的集合論・数理論理学」を推してたでしょ。
でも「公理的集合論・数理論理学」スレでこのスレタイ論破されちゃったから
今度は「数学基礎論・数理哲学」ってスレ立てて暴れているみたいだな。
- 192 名前：156 mailto:sage [2011/10/08(土) 19:33:04.90 ]
- >>173
ステートメントを厳密にですか・・・
↓
Tは一階の理論。文Aが任意のモデルで成立するが、それを示すために
モデルの要素数や、もっと踏み込んだ性質（偶数か奇数か等）に言及しているとする。
（初等群論とかで位数が素数のベキかどうかで場合わけするようなパターン）
Tは弱い理論で、そんな性質を表現できそうな関数や述語を持っていない。
それでも完全性定理によって文Aの形式的証明が存在するはず。
これはモデルの要素数などに言及しない別な証明方法が必ずあるってこと？
>>174
>偶数の無限と奇数の無限
？
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 19:34:04.65 ]
- ゲラゲラ
- 194 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/08(土) 20:02:26.87 ]
- >>192
私は上で書き込んだ人間じゃないんだけど、
例えば領域の濃度が有限で偶数・有限で奇数・可算無限の3つのモデルで
文Aが成り立つとき、AはTから証明可能なんだけど、
逆に文Aが成り立つモデルの領域の濃度がどうなっているかは
一般に決まらない。
これが原因でモデルが無限次元ベクトルでも1次元ベクトルでも
共通する性質を論理式に翻訳しちゃうと、
逆に論理式からベクトル次元がどうなっているのか分からなくなってしまう。
これを避けるために1階論理を拡張した多領域論理というのがある。
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 20:37:45.31 ]
- >>187は国語の成績が１だったな。確実に。
ラッセルのパラドックスの系として、
「素朴集合論」の矛盾が示せる、としても
その素朴集合論とやらが、数学の歴史上の
どこにも現れないのだから、
「素朴集合論における逆理の解消」
を動機とする、という記述が、
歴史の改竄だといっているわけだ。
「数学者だから数学の歴史を改竄する権利がある」といったら
数学者を含む全世界の人間から嘲笑される。確実に。
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 20:43:08.86 ]
- >>191
妄想乙。
残念だが、私は公理的集合論スレッドには書き込んでいない。
今、拝見したが、ロンパ君の主張は
「公理的集合論だって数理論理学の一分野！」
「公理的集合論だけ数理論理学から分けて記載するのは不適切！ 」
につきるらしい。
なら
「数理論理学 その9」
なら問題ないわけだｗ。
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 20:47:35.99 ]
- >>186を>>195で解説されているように読解しろというのは都合よすぎだろ。
自分で186を読み返してみろよ。195のように読めないから国語が１だって笑わせるなよ。
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:00:08.57 ]
- >>197
読解できないのは貴様の頭が悪いから。
いや悪いのは頭じゃなくて心か。
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:24:01.03 ]
- Rossor定義でのTの無矛盾性を表す論理式が証明可能な意味が分からん
ゲーデルの第２不完全定理と矛盾しないの？
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:24:03.43 ]
- 「ラッセルがフレーゲの理論に対して指摘したのと同じ種類の方法で作られる素朴集合論のパラドックス」
を「ラッセルのパラドックス」と呼ぶことは「歴史の改竄」だと屑鉄君はまだ主張するのかな？
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:30:28.43 ]
- >>200
「ラッセルがフレーゲの理論に対して指摘したのと
同じ種類の方法で作られる素朴集合論のパラドックス」
とやらについて、あたかも素朴集合論がカントールの集合論
であるかのごとく語り、カントールの集合論が矛盾したから、
数学界が慌てふためいたのだと語るのが、歴史の改竄だと
哲学のテの字も知らん、数学科卒、修士課程修了の私は
主張している。
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:40:08.47 ]
- 不完全性定理についてのクリプキのバージョンについてどこで見れますかね？
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:40:26.38 ]
- 186はどう読んでも
「ラッセルのパラドックス」と呼ぶことが「歴史の改竄」である
としか読めないのだがね
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 21:50:44.76 ]
- >>203
頭が悪い。（終）
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