- 270 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/29(日) 14:42:16.42 ID:HQSTLRKE.net]
- >>257 補足
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
えーと、適当な文献がネットでヒットしないが（多分 電子化されていない紙媒体が多いと思われる）
まあ、下記 井汲景太氏 2021年1月7日など をば
”「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場”については
各自 下記を参考に、追加で検索するなり＊）、図書を読むなりしてください
＊）英文検索の方が何かヒットしそうだが、今回はここまで
(参考)
https://ikumi.que.jp/blog/
五次元世界の冒険 数式処理ソフトによるガロア群の算出と、べき根を用いた厳密解の表現 その17 2024年5月5日
など多数の投稿あり
https://ikumi.que.jp/blog/archives/999
五次元世界の冒険
新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
2021年1月7日
井汲 景太
略
コメント
井汲 景太
2022年6月10日
・ガロアの手法との関係
私もガロアの原論文にちゃんと当たったわけではないですが、私が読んだ文献の記述から、私は次のように理解しています。
ガロアの時代は、 1のべき根に限ればすべてべき根で表せるということがガウスによってわかっていました
略
このことから、ガロアの考察においては、「使用可能な数」として有理数と「 1のべき根」の区別ははっきりつけておらず、 p乗根の添加に当たっては「今まで Q だと思っていた係数体は、実は 1 の原始 p 乗根を含んでいたということにするよ」みたいな考え方に当たるようなルーズな扱い方をしています。
ですから、V の最小多項式が 1 次式にまでに因数分解し尽くした時の体は、現代の厳密な視点では一般には最小分解体ではなく、余裕のあるより大きい体になっている…というわけです。つまりガロアが示したことも、現在の記法で言えば L=S ではなく L⊃S です。
井汲 景太
2022年6月12日
略
うーんと、「事前に用意しておく必要がある」というのがどういうことなのかよくわかりません。前回書いた通り、1の原始 n 乗根はすべてべき根で表せるので、1のべき根の添加は、その気になればすべて（多段の）べき根添加で代替できますよ。
略
サイトウ
2022年6月19日
略
ここでは，代数方程式の代数的可解性とガロア群の可解性とが同値であることを「考えている基礎体F が十分に多くの1 のべき根を含む」という追加条件のもとに説明した。実は，この追加条件は必要ないことが知られている。つまり，次の定理が成り立つ（証明は省略する）。
————————————–
イ FをQの拡大体とし，F上のn 次代数方程式f (x) = 0 の最小分解体をE
とする。このとき， f (x) = 0 が代数的に可解であるための必要十分条件
は，ガロア群G = Gal(E/F) が可解群であることである。
略
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