- 225 名前：暇人 [2025/06/28(土) 08:35:53.08 ID:4S+Arcik.net]
- >>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）
設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
各拡大 Ki+1/Ki は、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群であるガロア拡大である。
証明のアイデア
可解群の正規系列に沿って、中間体のチェーンを構築し、
各ステップで解が四則演算とべき根を用いて次の拡大の根まで表現できることを示す。
特に、巡回群に対応する拡大は原始根の添加（べき根の添加）で記述できる。
