- 447 名前：１３２人目の素数さん [2025/05/17(土) 14:58:08.85 ID:0l6LbjtF.net]
- >>419
>”開集合（位相空間論）”には、突っ込めないのか？
>”岡の不定域イデアル ＆ カルタンの層 の思想”には、突っ込めないのかな？？
もっと基本的なことで突っ込むと
>>403は、どうもおかしいので、
Copilotに尋ねたら、全然違うこといったぞｗ
（引用始）
Q.距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まる というけど、その証明は？
A.この主張は、連続関数の稠密集合上での値がその関数全体を決定することを述べています。
つまり、ある距離空間 𝑋 上の連続関数 𝑓:𝑋→𝑅 が、稠密な部分集合 𝐷⊂𝑋 上で一致しているならば、全体でも一致するということです。
証明の概要：
仮定:
𝑋 を距離空間とし、連続関数 𝑓,𝑔:𝑋→𝑅 が稠密集合 𝐷 上で一致しているとする。
つまり、任意の 𝑥∈𝐷 について 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) である。
目的: 全体 𝑋 において 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) を示す。
連続性の利用: 関数 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) を定義すると、これは連続であり、稠密集合 𝐷 上で ℎ(𝑥)=0 となる。
稠密集合の性質: 𝐷 は稠密であるため、任意の点 𝑥∈𝑋 に対して、𝐷 内の点列 {𝑥𝑛} で 𝑥𝑛→𝑥 となるものが取れる。
連続性による極限: ℎ(𝑥𝑛)=0 より、ℎ(𝑥)=lim 𝑛→∞ ℎ(𝑥𝑛)=0 が成り立つ。
結論: 任意の 𝑥∈𝑋 について ℎ(𝑥)=0 が示されたので、すなわち 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) が全体で成り立つ。
この結果は、特に多くの数学的応用において重要であり、
例えば関数解析の分野では稠密部分集合上での情報から
関数を一意に決定する理論的背景として利用されます。
さらに、実解析や近似理論などでも活用されます。
こうした性質がなぜ重要なのか、深掘りしてみるのも面白いですね。
(引用終）
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