- 219 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/05/12(月) 11:14:22.00 ID:BWkzqcBy.net]
- >>177-178 補足
ふっふ、ほっほ
１）Terence Tao “big picture”の話として、完備距離空間 完備化の普遍性
「任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる」
この視点からは、稠密Qによる距離空間 Rの構成は、単なる一例で
「Qのコーシー列で 距離空間 Rを構成した」と Tao流の“big picture”を語ってもよい
２）一方、昔上司（東北大出身で部長だった）人から 「切り口」という思考スキルを教えてもらった
複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろと
実数Rの構成法は、いろいろある。デデキントの切断もある。Qのコーシー列に限らない
この視点では、初期段階としては 必ずしも有理コーシー列は必須ではない
だから、コーシー列の同値類の概念は 必須でなく、本質でもない
３）加えて、歴史的な視点からは、人類は 小数展開を「手の内化」していた(下記 トヨタ語)
小数展開を使えば、基本 無理数は 一意の小数展開を持つことから、無限小数展開を使う
数学的な 実数論も可能ってことですよ
”big picture”の話と
”複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろ”という話と
”人類は 小数展開を「手の内化」（下記 トヨタ語）していた”という話
すべて 矛盾せず成り立つ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
列（有理コーシー数列）を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる。この完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。
つづく
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