en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity google訳 この公理はフォン・ノイマン (1925)の貢献によるもので、ツェルメロ (1930)によって当時の教科書に見られるものに近い定式化で採用された。集合論に基づく数学の分野における事実上すべての結果は、正則性がなくても成り立つ。クネン (1980)の第 3 章を参照。しかし、正則性により順序数のいくつかの特性が証明しやすくなる。また、正則性により、整列した集合だけでなく、辞書式順序などの整列した関係構造である適切なクラスに対しても帰納法を行うことができる。 {(n,α)｜n∈ω∧α is an ordinal } ツェルメロ-フランケル集合論の他の公理を考えると、正則性公理は帰納法公理と同等である。
（帰納法公理のリンクから下記へ。一部 google訳） en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction Epsilon-induction In set theory, ∈-induction, also called epsilon-induction or set-induction, is a principle that can be used to prove that all sets satisfy a given property. Considered as an axiomatic principle, it is called the axiom schema of set induction. The principle implies transfinite induction and recursion. It may also be studied in a general context of induction on well-founded relations. この原理は超限帰納法と再帰法を暗示しています。また、整基礎関係における帰納法の一般的な文脈で研究することもできます。
Comparison of epsilon and natural number induction The transitive von Neumann model ω of the standard natural numbers is the first infinite ordinal. There, the binary membership relation "∈" of set theory exactly models the strict ordering of natural numbers "<". Then, the principle derived from set induction is complete induction. 以下略
