- 35 名前：１３２人目の素数さん [2024/09/05(木) 08:44:34.97 ID:HJWV82EL.net]
- さて、対角成分がすべて1の上半三角行列Aの、成分aij,（j-i=1）の全体を
ランク１の対角並行成分と呼ぶことにする
Uの２つの行列A、Bの積ABのランク１の対角並行成分は
Aのi行目
1〜i−1番目 0
i番目 1
i+1番目 ai(i+1)
i+2番目以降 *（任意）
Bのi+1行目
1〜i−1番目 *（任意）
i番目 bi(i+1)
i+1番目 1
i+2番目以降 0
の内積なので
0×*+…+0×*+1×bi(i+1)+ai(i+1)×1+*×0+…+*×0
＝(ai(i+1)+bi(i+1))
となる
ここで、対角成分がすべて1の上半三角行列のうち
ランク１の対角並行成分が０のもの全体 U1 を考えると
その全体は行列の乗法で群となる、のみならず
両側から対角成分がすべて1の上半三角行列と
その逆元を掛けたものも、やはり
ランク１の対角並行成分が０となるので
正規部分群であることがわかる
そして、商群U/U1は
「対角成分がすべて1で、
ランク１の対角並行成分”以外”は０」
のものとなり、これらは実は可換群である
（ちなみにこれは加法群K^(n-1)と同型である）
ここで、Uの可解性を、U1の可解性に帰着できた
以下同様に、ランク２以降の対角並行成分を考えて、U1,U2,…と続けていくと
しまいには対角成分が１で上三角領域のうち
右上隅の要素以外が0のU(n-2)まで縮小できる
そしてこれは実は加法群Kと同型であるので可換である
したがって、B,U,U1,…,U(n-2)全てが可解群である！
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