- 478 名前：１３２人目の素数さん [2024/07/30(火) 12:53:46.37 ID:b0j0+YV5.net]
- >>452
1. 面積の計算
カージオイド r = 1 + cosθ の面積 S は、以下の公式で求められます。
S = (1/2) ∫[0, 2π] r^2 dθ
この式に r = 1 + cosθ を代入し、積分を実行すると、
S = (1/2) ∫[0, 2π] (1 + cosθ)^2 dθ
= (3/2)π
2. 重心座標の計算
極座標における重心のx座標Xとy座標Yは、以下の式で求められます。
X = (1/S) ∫[0, 2π] (r cosθ) (r^2/2) dθ
Y = (1/S) ∫[0, 2π] (r sinθ) (r^2/2) dθ
ここで、r^2/2 は面積要素を表しています。
これらの式に r = 1 + cosθ を代入し、積分を実行すると、
X = (1/S) ∫[0, 2π] (1 + cosθ)^3 cosθ dθ / 2
= 5/6
Y = (1/S) ∫[0, 2π] (1 + cosθ)^3 sinθ dθ / 2
= 0 （奇関数の積分なので0になる）
3. 答え
したがって、カージオイド r = 1 + cosθ の重心の座標は、
(X, Y) = (5/6, 0)
となります。
|
 |
