- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/23(火) 00:42:32.71 ID:nfeXM0n/.net]
- “標準の数学”について理解するにはそれがひとまずの完成にいたる経緯は少し理解していないといけない。
ヒルベルトあたりから議論がはじまった。
ヒルベルトの最初の目論見としては
①どんな言語をつかうのか
②どんな公理をつかうのか
③どんな推論則をつかうのか
決めてしまってそれを合意共有する。そこから演繹された命題を“真”、否定が演繹された命題を“偽”とさだめよう。
言語や推論測はあまり議論の余地はなかろう、公理としてなるべくみんなが納得できる、しかし“真”でも“偽”ない命題が発生したりすることの内容十分強力な公理系を用意することは可能であろう。
しかし今日ではよく知られた通りこの目論見は失敗におわる。ゲーデルの不完全性定理
公理系が機能的に枚挙可能で体系が自然数論のモデルを含むならその公理系は不完全である、すなわち P も not P も証明できない命題を必ず含む。
この定理があるかぎりヒルベルトの目論見は失敗する、もちろんいわゆる“排中律”をあきらめて“真”でも“偽”でもない命題を認めればよいが、これまでの数学ではずっと排中律は使ってきたしこれからも使いたい、どうするか。
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