面白い数学の問題おしえて～な 43問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/10/07(土) 09:50:19.52 ID:nSO5chgO.net] 面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです 質問スレではありません 出題者が答えを知らない問題はお控えください 統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です 荒らし、煽りはスルー推奨 前スレ 面白い数学の問題おしえて～な 42問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1672331826/ まとめwiki w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 2 名前：１３２人目の素数さん [2023/10/07(土) 11:24:53.83 ID:o6mengNM.net] 有限個の自然数からなる集合{a_1,a_2,…,a_N}があり、この集合の空でない部分集合の和は全て異なる. (例: {1,2,4} 空でない部分集合は{1},{2},{4},{1,2},{1,4},{2,4},{1,2,4}で、それぞれ和が1,2,4,3,5,6,7で全て異なる.) このとき、逆数和Σ_{k=1}^N (1/a_k)は2未満となることを示せ. 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/10/27(金) 01:07:38.37 ID:m4xAS9Ev.net] すっかり過疎だ 4 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/10(金) 21:22:51.43 ID:CeGMp3Md.net] 次の表現は正しいか、○か×で答えよ [一]　2∈{1,2,3} [二]　{2}∈{1,2,3} [三]　2⊂{1,2,3} [四]　{2}⊂{1,2,3} 簡単だけど勘違いしやすい問題 5 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/15(水) 20:15:53.37 ID:W3aaVKeD.net] >>4の解答です [一]　◯ [二]　× [三]　× [四]　◯ 理由も添える問題にした方が面白かったかも 6 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/17(金) 17:38:29.52 ID:41Jaa8gk.net] 次の表現は正しいか、○か×で答えよ [一]　2∈{1,2,3} [二]　{2}∈{1,2,3}U｛｛１，２，３｝、｛２｝｝ [三]　2⊂{1,2,3}U３ [四]　{2}⊂{1,2,3} 7 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/24(金) 21:18:39.79 ID:fv5tUeJX.net] 連立方程式 a^2-ab+c^2=0 b^2-bc+a^2=0 c^2-ca+b^2=0 の実数解(a,b,c)を1組求めよ。 またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。 8 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/25(土) 02:16:34.11 ID:YOBFH8SG.net] 3式足すと a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 よってa=b=c=0のみが実解 9 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/25(土) 07:21:42.98 ID:PvIPuyPf.net] ・解説その1 加減法を使う 3式足すと a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0 2乗の形を作るために a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0 a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0 a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[1] 2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[1]の等式も0以上となる つまり、[1]を満たすa,b,cは0となる よって、a=b=c=0 ・解説その2 a=b=c≠0と仮定する a=b=c=x　(x≠0)とおく 連立方程式のa^2-ab+c^2=0を用いる a^2+c^2=ab a,b,cをxに置き換えると x^2+x^2=x*x 2*(x^2)=x^2 x≠0のとき、この等式は成り立たない よって、a=b=c≠0は成り立たない 上記より、 実数解(a,b,c)を1組求めよ (a,b,c)=(0,0,0) またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか 実数解(0,0,0)以外の実数解(a,b,c)は存在しない 10 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/25(土) 07:58:41.39 ID:YOBFH8SG.net] 勝手に変な解説するなよw 11 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/25(土) 12:30:20.62 ID:PvIPuyPf.net] 勝手に解説して申し訳ないです 自分で証明していたものと比べ物にならないほど洗練されていたので使わせてもらいました。質問板で解説するつもりだったので、そのまま解説その1,2となってます ちなみに自分の証明では、 2乗の形を作るため、平方完成を用いる(半分の2乗) (a-b)^2が((1/2)a-(1/2)b)^2 ↑こんな感じでした 解説その2は出題に合わせて、無理矢理証明の形にしています 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/25(土) 21:10:05.91 ID:V/tD2Dg4.net] 解説その1は>>8と同じもの。これだけで十分。 解説その2は意味不明で、(a,b,c)が (a,b,c)＝(x,x,x) (3つとも同一の値) …(★) という形のときに x＝0 のみが解になっていることを示しているだけ。 それ以外の形の (a,b,c) が解になっているかどうかは何も言ってないので、 解説として全く足りてない。 最初の連立方程式から(★)の形に絞られることが言えるのであれば、 解説2でも構わんが、そんなこと解説2には書いてない。 13 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/25(土) 22:09:05.15 ID:/o1ejyaD.net] >>9の訂正版 連立方程式 a^2-ab+c^2=0…[1] b^2-bc+a^2=0…[2] c^2-ca+b^2=0…[3] 加減法を使い連立方程式の解a,b,cを求める [1],[2],[3]を足す a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0 2乗の形を作る a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0 a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0 a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4] 2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[4]の等式も0以上となる つまり、[4]を満たすa,b,cは0となる よって、a=b=c=0 実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組である この1組以外に実数解(a,b,c)が存在する場合について、 a=b=cかつa≠0,b≠0,c≠0と仮定 [1]より、a^2+c^2=ab a,b,cをxとおく x^2+x^2=x*x 2*(x^2)=x^2 x=0のとき以外、この等式は成り立たない つまり、a=b=cのときa=0,b=0,c=0のみ成り立つ また上記より、連立方程式の実数解a≠b,b≠c,c≠aは成り立たない したがって、実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組以外に実数解(a,b,c)は存在しない 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/25(土) 22:38:18.76 ID:sowqrXg2.net] >>13 後半が蛇足。前半だけで終わっている。等式 [4] が示せた時点で、 ・ (a,b,c)＝(0,0,0) 以外の (a,b,c) は解にならない ことが既に判明している。それなのに、後半では ・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0 というケースを改めて考え直して、そのケースでは解にならないことを 証明し直している。だが、そのような蛇足は全く要らない。 [4] が導出できた時点で、既にそこまで示せているから。 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/25(土) 22:44:05.17 ID:sowqrXg2.net] 一般に、非負の実数 x_1,…,x_n の和がゼロならば、 x_1,…,x_n は自動的に全てゼロになる。つまり、 ・ x_1≧0, x_2≧0, … , x_n≧0 かつ x_1＋x_2＋…＋x_n＝0 ならば、x_1＝x_2＝…＝x_n＝0 が成り立つ。[4]はまさにこれ。 16 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/25(土) 22:46:34.84 ID:/o1ejyaD.net] >>8だけで2つの出題の解答になっているのは分かってますが、出題者が2つに分けているので無理やり2つの解答を用意 手直ししても結果は芳しくないようですね やっぱり蛇足と割り切るのが良さそう 以上のことから、>>7の出題 「実数解(a,b,c)を1組求めよ。またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。」は、 「実数解(a,b,c)を求めよ。」だけでもいいかもしれません 他にも質問スレへ色々と追加している出題もこちらへ投稿して欲しいですね 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/25(土) 22:46:49.87 ID:sowqrXg2.net] a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 … [4] この等式の左辺には ・ a^2, b^2, c^2, (1/2)(a-b)^2, (1/2)(b-c)^2, (1/2)(c-a)^2 という6個の非負の実数が出現していて、その6個の和を取っており、 しかも和の結果がゼロになっている・・・と言っているのが[4]である。 よって、上記の6個は自動的に全てゼロになる。つまり a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0 ということになる。特に (a,b,c)＝(0,0,0) である。 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/25(土) 22:50:23.57 ID:sowqrXg2.net] つまり、[4] が導出できた時点で、強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると 確定してしまうので、それ以外の (a,b,c) は解の候補から自動的に除外される。 君が大好きな ・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0 というケースも、[4]が導出できた時点で、既に解の候補から除外されているのである。 それなのに、君は後半で改めて (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0 というケースを解の候補として考え直しており、 そのケースでは解にならないことを証明し直している。何度も言うように、それは蛇足である。 19 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/26(日) 20:39:07.04 ID:tRHONwcN.net] （1） 「f(x,y)=0かつg(x,y)=0」 ⇔ 「f(x,y)=0かつf(x,y)+g(x,y)=0」 を示せ。 （2） 連立方程式 a^2-ab+c^2=0 b^2-bc+a^2=0 c^2-ca+b^2=0 の実数解(a,b,c)を1組求めよ。 またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。 20 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/26(日) 20:39:59.57 ID:tRHONwcN.net] 実数a,b,cが、 a^2-ab+c^2=0 b^2-bc+a^2=0 c^2-ca+b^2=0 …（ア） を満たしている。 （1）aをbとcで表せ。 （2）恒等的に定数でない整数係数の1変数多項式f(x)で、f(c)=0を満たすものを1つ求めよ。 （3）（2）のf(x)に対し、関数y=f(x)を考える。xがすべての実数値をとりながら変化するとき、yの増減を調べよ。 （4）連立方程式（ア）を満たす実数の組(a,b,c)をすべて求めよ。 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 00:59:33.97 ID:u2RukpoK.net] >>19-20 無意味な誘導。[4]が導出できた時点で全て終わり。 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:18:22.34 ID:u2RukpoK.net] たとえば>>20は、次のようにすればよい。 解答 (a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、(ア)が実際に成り立つことが分かる。 よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。 次に、(ア)の解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4] となるので、 a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0 となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、(ア)の解(a,b,c)が存在するなら、 それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。 以上により、(a,b,c)＝(0,0,0) のみが解である。 (1)：2変数多項式 F(x,y) であって、a＝F(b,c) を満たすものを 1つ作れば十分である。ところで、(ア)を満たすa,b,cは (a,b,c)＝(0,0,0) に確定しているので、 等式 a＝F(b,c) は 0＝F(0,0) を意味する。 よって、F(0,0)＝0 を満たす F(x,y) を作れば十分である。 そのような F は無数に存在する。F(x,y)＝0 (恒等的に0) でもいいし、 F(x,y)＝x−y でもいいし、F(x,y)＝xy でもいい。 どの F(x,y) であっても、a＝F(b,c) が成り立つ。 (2)：f(x)＝x と置けばよい。(a,b,c)＝(0,0,0) なのだから、 c＝0 であり、よって f(c)＝f(0)＝0 すなわち f(c)＝0 である。 (3)：ここでは f(x)＝x なのだから、y＝f(x) は傾き1の直線である。 (4)：(a,b,c)＝(0,0,0) のみである。 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:23:03.85 ID:u2RukpoK.net] このように、(a,b,c)＝(0,0,0)のみが解であることを先に証明してしまうと、 (1)〜(4)の誘導の仕方は企画倒れになってしまう。 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:24:54.62 ID:u2RukpoK.net] ちなみに、 連立方程式 a^2-ab+c^2=0 b^2-bc+a^2=0 c^2-ca+b^2=0 の実数解(a,b,c)を1組求めよ。 またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。 という問題形式にやたらと拘っているようだが、 それもまた、解答のつけ方は>>22で終わっている。 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:29:39.66 ID:u2RukpoK.net] この問題形式では、 (i) 実数解(a,b,c)を1組求めよ。 (ii) その1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。 という2つの問題が挙げられているので、(i),(ii)それぞれに 解答をつければよい。そして、その書き方は>>22に書いたとおりである。 改めて解答をつけると、次のようになる。 解答 (i)：(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、問題文の連立方程式が 実際に成り立つことが分かる。よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。 (ii)：解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 となるので、 a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0 となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、解(a,b,c)が存在するなら、 それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。 以上により、(a,b,c)＝(0,0,0) のみが解である。 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:39:43.77 ID:u2RukpoK.net] このように、(i)に解答するには、 決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい。 「どうやって (a,b,c)＝(0,0,0) に至ったのか？」 という計算過程を記述する必要はどこにもない。 ただ単に、いきなり 「(a,b,c)＝(0,0,0)としてみる」 と宣言してしまえばよい。これが実際に解になっているかどうかは、 問題文の連立方程式に代入して確かめてみればよいだけである。 (a,b,c)＝(0,0,0)のとき、 a^2-ab+c^2 ＝ 0^2−0*0＋0^2 ＝ 0 であり、同じく b^2-bc+a^2＝0, c^2-ca+b^2＝0 なのだから、 (a,b,c)＝(0,0,0)は実際に連立方程式を満たすことが分かる。 よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:42:19.47 ID:u2RukpoK.net] (ii)に解答するには、(0,0,0)以外の(a,b,c)が 解の候補から外れることを厳密に示さなければならないので、 ここで初めて、連立方程式の中身を駆使した 具体的な計算過程を記述することになる。 何をするかと言えば、3つとも足し算して a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 を導出するだけである。これが導出できた時点で、 強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) に確定してしまう。 つまり、(0,0,0) 以外の(a,b,c)は解の候補から外れる。 これで(ii)に解答できたことになる。 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:43:25.84 ID:u2RukpoK.net] 結局、 連立方程式 a^2-ab+c^2=0 b^2-bc+a^2=0 c^2-ca+b^2=0 の実数解(a,b,c)を1組求めよ。 またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。 という問題形式に拘ったところで、 解答の仕方は本質的に>>8で終わっているのであり、 丁寧に書き下しても>>25の書き方になるだけである。 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/27(月) 01:54:32.70 ID:u2RukpoK.net] 一方で、君の解答のつけ方には、 ・ 決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい という視点が欠落している。君は、(i)に解答するときにも 「どうやって(a,b,c)＝(0,0,0)に到達したのか、 　その計算過程を記述しなければならない」 と勘違いしているのである。 本来なら(ii)で書くべき計算内容を、 君は(i)の時点で書き下してしまうのである。 その後で改めて(ii)に解答しようとするから、 どうしても計算内容の重複(つまり蛇足)が発生するのである。 30 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/27(月) 19:03:43.30 ID:WtKZl7yZ.net] >>29「計算過程を記述しなければならない」 受験やテスト対策として、塾の講師に「途中計算も必ず書くこと」、「証明は必ず書くこと」、「証明は答えの前に必ず書くこと(先に書く)」、「計算や証明は重複しても構わない」的なことを教わったのを思い出しました ありがとうございます。違和感の正体と理由がわかりました 受験数学で身に付けた考え方、癖、固定観念的なものが未だに残っているようです 31 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/27(月) 19:16:50.33 ID:WtKZl7yZ.net] 問題: 半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。 32 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/28(火) 06:46:53.01 ID:ABxOPJme.net] ふーん 33 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/28(火) 07:30:33.96 ID:9Dcgh5JH.net] >>31問題: 半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。 ※内接…球に円錐の頂点と底面の円周が接している 比率を最大にするためには、表面積の分母を最小化する必要がある 表面積(分母)の (√((r^2) + (h^2))*r*π) を最小にする条件は、正円錐であることなので (h = r) 半径1の球に内接している正円錐の高さ(h)と底面積の半径(r)は(h = r = 1) 円錐の体積(V)=(1/3)*底面積*高さ(h) =(1/3)*(1^2)*π*1 =(1/3)π 円錐の表面積(S)=底面積+側面積 =母線の長さ*底面の半径*π =√((1^2)+(1^2))*1*π =√(2)π 上記より、 比率(V/S)=((1/3)π)/(√(2)π)=1/(3√(2)) よって、比率(V/S)の最大値は1/(3√(2)) 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/11/28(火) 09:27:25.05 ID:vjjLv2YE.net] >>33 底面積が計算に入ってなくない？ 35 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/28(火) 12:49:58.07 ID:9Dcgh5JH.net] >>33円錐の表面積以降を訂正 円錐の表面積(S)=底面積+側面積 =(半径*半径*π)+(母線*半径*π) =(1*1*π)+(√(2)*1*π) =(1+√(2))π 上記より、 比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π) =1/(3*(1+√(2)))=1/(3+3√(2)) よって、比率(V/S)の最大値は1/(3+3√(2)) >>34確認したら底面積が抜けてました ・確認用 円錐の表面積(S) =(半径+母線)*半径*π =(1+√((1^2)+(1^2)))*1*π =(1+√(2))π 追記:小数点第4位までの表記なら0.1380 比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π) =1/(3*(1+√(2)))=1/7.24264… =0.1380… 36 名前：１３２人目の素数さん [2023/11/29(水) 17:27:13.41 ID:lbp6lb1l.net] 問題: 文字列abcdefの6文字を横1列に並べて順列を作るとき、 [1]. (aとb)または(cとd)の少なくとも1組は隣接する [2]. aは(cとe)とは隣接しない [1]と[2]の両方を満たす順列は何通りか？ 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/09(土) 04:33:51.84 ID:ThKcZMzA.net] パズルを1題 1〜nまでの数字を1回ずつ使って?×?=?という形の式を作る 1〜4の場合は3×4=12,1〜5の場合は13×4=52が当てはまる それでは1〜6の場合を答えよ(想定解2つ) 38 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/09(土) 05:02:13.90 ID:pVyBlX+z.net] 問題自体はちっとも面白くないけど、しらみつぶし以外の面白い解き方があるのかな？ 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/10(日) 23:45:31.89 ID:M0c/XDgP.net] 解説 ?×?=?の形の式で数字を6つ使うのは1桁×2桁=3桁のパターンしかない それをA×BC=DEFとおく 1の位(A,C,F)に1や5が入ることはあり得ないので2,3,4,6のいずれか3つが入ることになり、2×3=6と3×4=2の2通り Dは4以上になり得ず、1の位で両者とも2と3を使うためD=1が確定 2×3=6を使う場合は繰り上がりが起こらないため5をBやEに入れられない(1の位に入れられないのと同様の理由)ので不成立 3×4=2を使う場合は3×B4=1E2,4×B3=1E2の2通り 5と6を入れてみると成り立つのは3×54=162のみ よって3×54=162が唯一解 想定解が2つと言うのは 小数点を使えば24×1.5=36(または2.4×15=36)って解も出せるという結構ずるい話 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/10(日) 23:48:11.52 ID:M0c/XDgP.net] 1〜4,1〜5,1〜6共に解が1つに定まるのが綺麗なので出題してみた次第 ちなみに1〜7は解なしで1〜8と1〜9は何通りかある 41 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/11(月) 16:02:19.77 ID:YspZXONi.net] なるほど、いわゆる完全虫食い算になってたわけね 42 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/11(月) 16:06:55.20 ID:YspZXONi.net] 漫画「数学ゴールデン」の3巻から a1〜a6,b1〜b6,c1〜c6がそれぞれ1〜6の並べ替えであるとき Σ[i=1〜6](aibi+bici+ciai)の最小値を求めよ 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/11(月) 16:59:11.24 ID:eiYaHYEN.net] 答えは 1*4*6 + 2*3*4 + 3*5*2 + 4*2*3 + 5*6*1 + 6*1*5 = 162 みたいだけどなんか鮮やかな示し方あんの？ 44 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/11(月) 20:18:51.19 ID:7cAlcsOx.net] たぶん組み分け的には 164 641 416 235 352 523 で、4と5は入れ替え可能ってことなんだろうけど 証明はわからん 45 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/11(月) 20:28:46.09 ID:7cAlcsOx.net] あれ、これΣaibiciじゃん・・・ 46 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/11(月) 20:57:08.51 ID:7cAlcsOx.net] Xi=ai+bi+ciと置けば 問題の式を最小にするにはΣ(Xi)^2を最小にすれば良くて ΣXi=63(一定)だから、これは幾何学的にはベクトルXiをなるべく対角方向にすればノルムが小さく出来て Xi=10.5(i=1〜6)が最小だけども、Xiは整数値だから (10,10,10,11,11,11)でノルム最小かな だから結局>>44で合ってそう(ただし4と5入替不可) 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/11(月) 22:57:42.64 ID:eiYaHYEN.net] (i)25の倍数が含まれるとき 25x ( x∈(1,2,..,6})が含まれるとして残り５数の和の最小値は 5*(144^3*5/x)^(1/5)だから６数全体の和は ⌈25 + 5*(144^3*5/x)^(1/5)⌉ 以上であり、これはx=1のとき最小値162をとる (ii)25の倍数が含まれないとき ６数を5a,5b,5c,d,e,fとしabc=x^3とおけば 5a+5b+5c+d+e+f≧⌈15x+3*144/x⌉ である 左辺が161以下になるには15x+3*144/x≦161が必要で16/3≦x≦27/5が必要である。 よって (16/3)^3≦abc≦(27/5)^3 が必要であり 152≦abc≦157 が必要であるが、[152,157]に属する整数はすべて7以上の素因子を含む 48 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/12(火) 03:22:17.65 ID:LLbO8mIF.net] 712!+1は素数か？ 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/12(火) 10:34:51.89 ID:gS9cs21n.net] https://ja.wolframalpha.com/input?i=712%21%2B1%E3%81%AF%E7%B4%A0%E6%95%B0 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/12(火) 10:41:16.23 ID:gS9cs21n.net] https://ja.wolframalpha.com/input?i=713 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/12(火) 10:52:38.61 ID:y5CcJSmf.net] https://i.imgur.com/aYZY5A8.jpg 52 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/12(火) 11:34:49.50 ID:LLbO8mIF.net] >>49 wolfram計算できてなくないか？ 素数でないなら合成数であることを示してください 計算機使わず示せます 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/12(火) 12:00:00.53 ID:HChoSoK7.net] (a^2-ab+c^2)(2a+b-c)+(b^2-bc+a^2)(2a+b)+(c^2-ac+b^2)(-a-b+c)=4a^3. 54 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/12(火) 12:14:23.76 ID:LLbO8mIF.net] >>53 おお、>>28の一発解法だね 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/12(火) 13:43:29.03 ID:Rx991kwn.net] >>48 719で割れる。 F_719 で 712! = 718!/720 = -1 56 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/12(火) 14:44:53.23 ID:LLbO8mIF.net] >>55 正解！ 719が素数なのと720=6!が上手くいきすぎてて面白い問題だと思った(昨夜某アドベンダーで知った) 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/12(火) 14:51:36.52 ID:gS9cs21n.net] >>52 素数ではないと判定されてる 素因数分解は大量の計算量が必要だけど素数であるかどうかの判定は桁数nに対してnlog(n)程度のオーダーで計算できるからwolframなら一発答えがでる 58 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/12(火) 15:06:48.62 ID:LLbO8mIF.net] あと、713が絶妙に合成数なのも良ポイント 59 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/12(火) 15:26:34.10 ID:dTc7fHtS.net] >>57 どうやるの？ 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/20(水) 04:17:28.81 ID:RWD52qPN.net] 例えば https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/56/1/56_1_73/_article/-char/ja/ 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/21(木) 00:09:32.79 ID:Kb4dE8jB.net] 誰か実用的な数学の計算式考えてくれない？ 検索しても見つからないしAIに聞いても答えが出せない。 珊瑚とK18金素材のジュエリーがあるとしてそれらは取り外すと破損するから外せないが、 総重量と体積、二つの素材の正確な比重値がわかっているとする。 総重量が100gで、体積が30立方センチである つまり全体の比重値は3.33である 珊瑚の比重は2.65とし、K18金の比重は15.50とする なお、実際には体積測定時に気泡が入ったり、 天然の珊瑚や金の合金種類の配合などの個体差による誤差が出るがここでは考えないものとする。 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/21(木) 01:26:04.52 ID:DAQ1Ttj6.net] 中学の連立方程式の問題 重量を x, y とおいて x+y=100, (x/2.65)+(y/15.50)=30 これを解いて x=(2.65(15.50*30-100))/(15.50-2.65) ≒75.3 y=(15.50(100-2.65*30))/(15.50-2.65) ≒24.7 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/21(木) 05:52:51.32 ID:Kb4dE8jB.net] thx 計算で出せることはわかってたけど式がわからなかったんだよね 買い取り屋はどこも壊して査定とかもったいなくて荒々しいのばかりだし 数学を使って非破壊で求めたらいいのに 64 名前：１３２人目の素数さん [2023/12/31(日) 15:01:09.16 ID:syKLy21c.net] 保守のついで Cを x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = sin(t) + sin(-2t) で表される曲線とする。 (1)3t≡π (mod 2π)である点を除いて t = α においてCは接線 l(α) を持つことを示せ (2)l(α)とCは接点以外の共有点をちょうど二つもち、その二点間の距離は一定であることを示せ 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/12/31(日) 15:10:10.00 ID:syKLy21c.net] >>64 訂正 x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = 2sin(t) + sin(-2t) でつ 66 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/07(日) 01:06:51.01 ID:g+TJCW48.net] 保守上げついでにつべネタ cbrt(x)で立方根を返す関数とする f(x) = cbrt(x) + cbrt(37-x) とするときf(x)が整数値をとる整数xはx=-27, 64に限ることを示せ 67 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2024/01/08(月) 03:44:40.65 ID:v3Vv1z5P.net] >>31 単位球に内接しかつV/Sが最大値をとる円錐の底面の半径をRとすると、 V=(1/3)πR^2｛1+√(1-R^2)｝ S=πR^2+πR√｛2+2√(1-R^2)｝ =πR^2+πR｛√(1+R)-√(1-R)｝ V/S=｛1+√(1-R^2)｝/[｛√(1+R)+√(1-R)｝/R] =｛R+R√(1+R)√(1-R)｝/｛R+√(1+R)+√(1-R)｝ (V/S)'=0 微分して=0とし適宜移行し辺々二乗すると、 4+4√(1-R^2)=R^2｛5-2R^2-2R√(1+R)+(2R-4)√(1-R)+√(1-R^2)｝ 作図した感じ、 R=0.8……〜0.9.…… Rが定まればV/Sも決まる。 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/08(月) 15:17:41.41 ID:Mk28pz3s.net] >>66 n=cbrt(x),m=cbrt(37-x) とおくと問題は、n^3+m^3=37 という条件下で、n+mが整数になる時の考察になる。 n^3+m^3=37 の時、n+m は負にはならないし、6以上にもならない(※) 従って、n+m　が整数になる時、その値として可能性があるのは　1,2,3,4,5　だけ。 実際これを解き、整数解が得られるのは、k=1の時の、x=-27, 64　だけ。 これで、題意が示される。 (※) 負にならないのは、0 < 37 = n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+n^2) = (1/4)(n+m){(2n-m)^2+3m^2} から明らか。 6以上にならないのは、(n+m)^3=37+3mn(n+m)≦37+(3/4)(n+m)^3=37+(3/4){37+3mn(n+m)}　；　∵　4xy≦(x+y)^2　 ≦37{1+3/4+(3/4)^2+...}=37*4=148＜216=6^3　から示される。 69 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2024/01/09(火) 03:55:17.12 ID:dWfvhJIo.net] >>31 単位球に内接する円錐の高さをhとすると、 底面積はピタゴラスの定理より、 π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2) 円錐の体積Vは、 V=(1/3)π(2h-h^2)h 円錐の表面積Sは、嶺線の長さをRとして、 (底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、 S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝ 直角三角形の相似比から、 h：R=(R/2)：1 h=R^2/2 R=√(2h) S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝ V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝ =h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2 =√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3 =｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3 (V/S)'=0とすると、 ｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0 1-1/｛2√(2-h)｝=0 2√(2-h)=1 2-h=1/4 h=2-1/4 =7/4 2h=7/2 2h-h^2=7/2-49/16 =(56-49)/16 =7/16 V=(π/3)(7/16)(7/4) =49π/192 S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝ =(7/16)π+(7/4)π(√2/2) =7π(1+2√2)/16 比率(V/S)の最大値は、 ∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝ =7(2√2-1)/(12・7) =(2√2-1)/12 =0.15236892706…… 70 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2024/01/09(火) 04:01:07.69 ID:dWfvhJIo.net] 前>>69訂正(6行目)。 >>31 単位球に内接する円錐の高さをhとすると、 底面積はピタゴラスの定理より、 π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2) 円錐の体積Vは、 V=(1/3)π(2h-h^2)h 円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、 (底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、 S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝ 直角三角形の相似比から、 h：R=(R/2)：1 h=R^2/2 R=√(2h) S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝ V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝ =h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2 =√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3 =｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3 (V/S)'=0とすると、 ｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0 1-1/｛2√(2-h)｝=0 2√(2-h)=1 2-h=1/4 h=2-1/4 =7/4 2h=7/2 2h-h^2=7/2-49/16 =(56-49)/16 =7/16 V=(π/3)(7/16)(7/4) =49π/192 S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝ =(7/16)π+(7/4)π(√2/2) =7π(1+2√2)/16 比率(V/S)の最大値は、 ∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝ =7(2√2-1)/(12・7) =(2√2-1)/12 =0.15236892706…… 71 名前：イナ mailto:sage [2024/01/09(火) 19:50:01.91 ID:0NEsoApG.net] 前>>70最大値を更新した。 >>31 単位球に内接する円錐の高さをhとすると、 底面積はピタゴラスの定理より、 π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2) 円錐の体積Vは、 V=(1/3)π(2h-h^2)h 円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、 (底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、 S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝ 直角三角形の相似比から、 h：R=(R/2)：1 h=R^2/2 R=√(2h) S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝ V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝ =h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2 =√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3 =｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3 (V/S)'=0とすると、 ｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0 1-√2/｛(2√(2-h)｝=0 2√(2-h)=√2 2-h=1/2 h=2-1/2 =3/2 2h=3 2h-h^2=3-9/4 =3/4 V=(π/3)(3/4)(3/2) =3π/8 S=π(3/4)+π√｛(3/4)・3｝ =(3/4)π+(3/2)π =9π/4 比率(V/S)の最大値は、 ∴V/S=(3×4)/(8×9) =1/6 =0.1666…… 72 名前：イナ mailto:sage [2024/01/09(火) 20:57:50.42 ID:e6fhWajH.net] 前>>71 母線が円錐の中心線に対して30° 円錐を真横から見て正三角形に見えるときが最大ってことだよね？ つまり微分しなくても勘で答えは出せるってこと。 73 名前： 【末吉】 mailto:sage [2024/01/10(水) 00:58:27.29 ID:QR+JBGhQ.net] 前>>72 球のV/Sが1/3だから、 円錐のV/Sの最大値がその半分に当たる1/6になるのは妥当な気がする。 74 名前：prime_132 [2024/01/13(土) 18:08:22.90 ID:mCRD/SJz.net] 　a^2 - ab + c^2 ≦ δ_1^2, 　b^2 - bc + a^2 ≦ δ_2^2, 　c^2 - ca + b^2 ≦ δ_3^2, とする。この３式を足して 　ε^2 = δ_1^2 + δ_2^2 + δ_3^2 　≧ 2(aa+bb+cc) - (ab+bc+ca) 　= [(a+b+c)/√3]^2 + (5/2)[(a-b)/√2]^2 + (5/2)[(a+b-2c)/√6]^2 解はこの回転楕円体の中にある。 　長半径はεで、(1,1,1)方向。 　短半径はε√(2/5) で、↑と垂直な方向。 ∴ 解は半径εの球の中にある。 そこで ε→0 とする。 75 名前：イナ mailto:sage [2024/01/14(日) 07:33:39.09 ID:B6rOC6Xx.net] 単位球の体積は4π/3 単位球の表面積は4π V/S=1/3=0.333…… 単位球に内接する立方体の体積は V/S=(2/√3)^3/｛6(2/√3)^2｝ =(2/√3)/6 =1/3√3 =√3/9 =1.7320508……/9 =0.19245009…… 単位球に内接する円錐のV/S=1/6=0.1666…… 形的に極めて妥当な値だと思う。 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/14(日) 20:42:00.46 ID:akLa+tda.net] 保守 >>64 元ネタ、内サイクロイド、2021年大阪公立大学など ベクトル値関数 e(t)=(cos(t),sin(t))において容易に e(s) + e(t) // e((s+t)/2) ( if s+t ≠ 0 ( mod π ) d/dt e(t) = e(t+π/2) などはわかる。曲線は p(t) = 2e(t) + e(-2t) であるから d/dt p(t) = 2( e(t+π/2) - e(-2t+π/2) ) であり、これは t+π/2 ≡ -2t+π/2 ( mod 2π ), すなわち 3t ≡ 0 ( mod 2π ) の場合を除いて e(t+π/2) - e(-2t+π/2) // e(t+π/2) + e(-2t-π/2) // e(-t/2) となり、x=a での法線は e(-t/2-π/2) と平行であり、接線の方程式は e(-a/2-π/2)・( p - e(a)) = 0 である。曲線上の点 p(t) がこの接線上にあるのは 0 = e(-a/2-π/2)・( 2e(t) + e(-2t) - 2e(a) - e(-2a) ) = 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(a+a/2) - sin(-2a+a/2) = 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2) = 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2) = 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2) = 2sin(t+a/2)(1-cos(-t+a)) のときだから t = -a/2, -a/2+π, a ( mod 2π ) となる。 とくに接点以外の交点 P(-a/2), P(-a/2+π)を持つ。とくにその二点間の長さは | P(-a/2) - P(-a/2+π) | = | (4cos(-a/2),4sin(-a/2)) | = 4 である。 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/14(日) 21:21:37.31 ID:akLa+tda.net] >>68 正解 元ネタはこの人のあげた動画のどれかだけどわかんなくなった https://www.youtube.com/@user-gy1ir1eb5d/videos 大学数学つかっていい解法 u = cbrt(x), v = cbrt(37-x) とおいて u + v = 37/(u^2 - uv + v^2) は正値をとり分母の最小値はu=vのとき そのときの u+vは 2(37/2)^(1/3) = 5.28957247269....であるから取りうる整数値は1〜5に限られる さらに右辺の分母は代数的整数で、これが有理数となるとき、それは整数でなければならない。 このときさらに全体が整数となるなら分母は37の約数でなければならない。 以上によりとりうる整数値は1しかありえない。 d/dx(u+v) = 1/3(cbrt(1/x^2) - cbrt(1/(37-x)^2)) はx^2、(37-x)^2の絶対値を比較してx<37/2で単調増加、x>37/2で単調減少となり 関数値が1となりえるのは高々2か所である。 78 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/15(月) 15:36:04.41 ID:BPhI6irk.net] >>55 Wilson を使うのでござるか。 　(p-1)! ≡ -1　(mod p) 　712 を超える最小の素数 p=719 が素因数だった。 　713 = 23*31,　717 = 3*239 79 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/15(月) 16:15:38.96 ID:MljwMamg.net] >>2の答えを教えてほしい 80 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/17(水) 06:51:48.31 ID:1LBM7xkH.net] がんばれ 81 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/17(水) 17:49:44.64 ID:A9fgHU4D.net] >>79 >>2の出題者です とりあえずヒントとして 多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表すので、 x∈(0,1)なら Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x) となることを利用します 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/18(木) 08:05:31.37 ID:AiEzVdKM.net] logとって0~1で積分したら3以下は証明できたけどなぁ 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/18(木) 09:07:56.77 ID:AiEzVdKM.net] x=exp(-t)で0~∞で積分だ、なるほど 84 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/19(金) 01:13:16.69 ID:OgxcpeYC.net] >>83 素晴らしい 天才です 解答書きます 多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表す よってx∈(0,1)なら Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x) となる. 両辺対数を取って, Σ_{k=1}^N log(1+x^(a_k))＜-log(1-x). 両辺xで割り、(0,1)で積分すると, Σ_{k=1}^N ∫_0^1 log(1+x^(a_k))/x dx＜-∫_0^1 log(1-x)/x dx=π^2/6. 左辺についてx^(a_k)=yとおけば, Σ_{k=1}^N (1/a_k) ∫_0^1 log(1+y)/y dx= Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12. よって, Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12＜π^2/6より, Σ_{k=1}^N (1/a_k)＜2. 85 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/19(金) 01:42:23.84 ID:fl256YzT.net] 面白いし不思議だなぁ もっと普通に(例えば2進法とか使って)示せないんだろうか 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/19(金) 02:58:34.64 ID:PunadIeW.net] これネタ元とかあります？ 自作？ 87 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/19(金) 08:18:08.13 ID:hBjkRNpR.net] >>86 元ネタはこの論文です https://www.renyi.hu/~p_erdos/1974-24.pdf 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/19(金) 08:25:09.64 ID:NRTYh2U/.net] https://i.imgur.com/1oPkmS5.jpg 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/19(金) 09:18:19.13 ID:PunadIeW.net] >>87 thx よくこんなの思いつくなぁ 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/19(金) 13:04:19.31 ID:nFs2YqNH.net] >>2 メンバーを小さい順にa_1,a_2,a_3,...,a_Nと表すと、k番目のメンバーは a_k≧2^(k-1) という評価ができる。 何故なら、1番目からk番目のメンバーだけで作り得る部分集合の数は、2^k個で、 空集合を除くと2^{k}-1個になる。 部分集合の和が全て異なる事が条件なので、1から2^{k}-1までの値を隙間無く取ったとして、 {k+1}番目のメンバーが取り得る最小の値は2^{k}となるから。 Σ_{k=1}^N (1/a_k)≦Σ_{k=1}^N(1/2^{k-1})=1/1 + 1/2 + ... + 1/2^{N-1} = 2 - 1/2^{N-1} < 2 91 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/19(金) 13:10:18.42 ID:JmX9c8Ue.net] [0,1]で一様分布する確率変数のiidの列をXn、X1〜Xnの平均をYnとすればYnは定数1/2に確率収束する(∵ 大数の法則) よって特に分布収束する よって1/Ynは2に分布収束する(∵ 連続写像定理) 特にE(Yn)はE(2)に収束する 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/19(金) 13:14:27.40 ID:kN1TkOQs.net] >>90 その議論は集合 {3,5,6,7} が反例になるんじゃないかな 部分集合の和は全て異なるけど a_4 = 7 < 2^(4-1) になるから 93 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/19(金) 13:44:18.80 ID:NFJ8vH4+.net] そうなんだよな 自分も最初その方針で考えたけど意外と自由度あって詰んだ 94 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/19(金) 14:20:39.44 ID:nFs2YqNH.net] >>92 なるほど、そのような例を想定していたんだ。 思慮不足でした。 95 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/24(水) 16:22:14.93 ID:rFKsVNU5.net] >>81 ところでこの逆って示せるんだろうか x∈(0,1)で Π_{k=1}^N (1+x^(a_k)) ＜ 1/(1-x) なら、Sの部分和は全て異なる？ 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/24(水) 18:52:45.47 ID:wSVl2uIy.net] {4, 5, 6, 7} とかが反例になりそう (1+x^n)^4 < 1/(1-x) (n≧4, 0<x<1) が示せれば 97 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/24(水) 19:43:38.74 ID:rFKsVNU5.net] >>96 反例になってそうですね！ありがとうございます。 98 名前：prime_132 [2024/01/24(水) 20:03:35.51 ID:6OJ6Idbl.net] >>65 C上で t=a に相当する点をAとする。 　A（2cos(a)+cos(-2a), 2sin(a)+sin(-2a)） 点AでCの接線をひく。 　dx/dt = -2{sin(a) - sin(-2a)｝= -4sin(3a/2)cos(a/2), 　dy/dt = 2{cos(a) - cos(-2a)｝= 4sin(3a/2)sin(a/2), ∴接線の傾きは　dy/dx = tan(-a/2),　（傾角は -a/2） 　x = cos(a) + cos(-2a) + L*cos(-a/2), 　y = sin(a) + sin(-2a) + L*sin(-a/2),　 ここで L は接線上の有向距離。 C上の点をT（≠A）とすると、割線ATの傾きは {2sin(t)+sin(-2t)-2sin(a)-sin(-2a)}/{2cos(t)+cos(-2t)-2cos(a)-cos(-2a)}, これらの傾きが等しいとおくと、 0 = {2sin(t) + sin(-2t) - 2sin(a) - sin(-2a)}cos(a/2) 　+ {2cos(t) + cos(-2t) - 2cos(a) - cos(-2a)}sin(a/2) = 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(3a/2) - sin(-3a/2)　… 加法公式 = 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2) = 2sin(t+a/2) - 2sin(t+a/2)*cos(t-a)　… 和積公式 = 2{1-cos(t-a)}sin(t+a/2), ∴　t = a(重根)　　… 接点A 　　t = - a/2,　　(cos(a)+2cos(-a/2), sin(a)+2sin(-a/2))　 　　t = π - a/2.　 (cos(a)-2cos(a/2), sin(a)+2sin(a/2)) ２つの共有点の距離は２. 99 名前：prime_132 [2024/01/25(木) 16:57:12.36 ID:7Z+ndEui.net] 内サイクロイド、ハイポ・サイクロイド、内擺(はい)線 とか云うらしい。 　a=3, b=1, a-b=2 　周長　8(a-b) = 16, 　面積　(a-b)(a-2b)π = 2π. 森口・宇田川・一松「数学公式Ｉ」岩波全書221 (1956) 　第5章, §68, p.284, 第6.89図 [a=3b] 100 名前：prime_132 [2024/01/25(木) 17:13:07.57 ID:7Z+ndEui.net] >>98 (訂正) 　2つの共有点の距離は４ でした。。。 101 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/25(木) 18:42:59.63 ID:Hj0dFs0W.net] 100と互いに素な100以下の自然数からなる集合の空でない部分集合の和が100の倍数となるものは何通りか． 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/25(木) 22:40:53.62 ID:vVbFxNGP.net] Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 100 の意味と解釈して Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 2^(#S-1)Σ[x∈S]x #S = 1のとき 解なし #S = 2のとき S={1,49},{3,47},{7,47},...,{23,27}のφ(50)/2 = 10個 #S = 3のとき S={1,3,21},{1,7,17},{1,11,13},{3,9,13}の4個 ∴14個 103 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/25(木) 22:54:29.01 ID:Hj0dFs0W.net] >>102 すみません、100の約数ではなく、100の倍数ですね 例えば {1,99} {1,3,97,99} などがあります 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/26(金) 02:18:29.30 ID:jG4wW7TT.net] "元の総和が100の倍数になる空でない集合"の意味か 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/26(金) 03:14:40.90 ID:jG4wW7TT.net] ρ＝exp(2πi/100)とし、Φ_n(t)をn次円分多項式Φ_n(t)＝Π[k=1..n,(k,n)=1](t-exp(2πik/n))、φ(n)をEuler tautientとする。 f(t)=Π[m=1..100,(m,100)=1](1+t^m)とおけば(求める値+1)×100は Σ[k=0..99]f(ρ^k) である。 ここで f(ρ^k) の値は (k,100) = d とするとき f(ρ^k) = |Φ_(100/d)(-1)|^(φ(100)/φ(d)) である。 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/26(金) 11:03:32.87 ID:jG4wW7TT.net] 訂正 Σ[ d|100 ] φ(d)Φd(-1)φ(100)/φ(d) だ 40*1^1+20*5^2+20*1^2+8*1^5+4*5^10+4*1^10+2*2^20+2^40 = 1099552788000 107 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/27(土) 19:57:53.24 ID:MjuSGN8e.net] >>106 素晴らしい 100で割れば正解です！ まさしく円分多項式を使う方針を想定してました 108 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/27(土) 19:58:16.32 ID:MjuSGN8e.net] >>104 問題文が曖昧で紛れてしまって申し訳ない 109 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/28(日) 09:00:59.37 ID:5vy1yyur.net] 有理数x,y,zでx+y+z=0かつxyz=1を満たすものは存在するか？ 110 名前：１３２人目の素数さん [2024/01/28(日) 09:51:43.09 ID:vjK6M2DA.net] >>109 x+y+1/xy=0 x^2y+xy^2+1=0 y=(-x^2±√(x^4-4x))/2x x^4-4x=w^2 contains rational points other than (0,0)? 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/28(日) 10:56:11.82 ID:CwYPAyWB.net] x^4y^2+(xy)^3+x^2y=0 (v/8-1/2)^2 - u^3/64 + v/8-1/2 = 0 ( v/8-1/2 = x^2y、-u/8 = xy ) v^2/64 = u^3/64 + 1/4 v^2 = u^3 + 16 E = EllipticCurve([0,0,0,0,16]) E.gens() [] https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxzVbBVcM3JySwoyUx2Li0qS9WINtCBQEOzWE1eLle99NS8Yg1NAP3uC2Y=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ== 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/28(日) 11:11:38.12 ID:CwYPAyWB.net] E = EllipticCurve([0,0,0,0,16]) [E.gens(),E.torsion_subgroup().points()] https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxzVbBVcM3JySwoyUx2Li0qS9WINtCBQEOzWE1ermhXvfTUvGINTR1XvZL8ouLM_Lz44tKk9KL80gINTb2C_My8EqBsLAAuJBcO&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ== 113 名前：イナ mailto:sage [2024/01/28(日) 11:31:13.23 ID:eDHty1UI.net] 31は>>35より>>71の方が大きいと思うんですが、正解ですか？ 114 名前：prime_132 [2024/01/28(日) 15:35:55.01 ID:puFIGB78.net] 横レスだけど…　>>71 が正解 S = πh(2-h) + πR√(h(2-h)) 　= πh√(2-h)*{√(2-h) + R/√h}, V = (π/3)hh(2-h), S/V = (1/3)√(2-h)･h／{R/√h + √(2-h)} 　　= (1/3)√(2-h){R/√h - √(2-h)} 　　= (1/3){RR/4h - [R/(2√h) - √(2-h)]^2} 　　≦ RR/(12h) 　　= 1/6, 等号条件は R = 2√(h(2-h)), 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/01/28(日) 15:50:35.61 ID:CwYPAyWB.net] 訂正 x4y2 + x3y3 + x2y = x3y2 v2 - u3 + v = -uv (u = -xy, v = x2y ) v2 - u3 = 1(-uv) + 0u2 +1(-v) + 0u + 0 v2 + uv + v = u3 + 0u2 + 0u + 0 ........... E = EllipticCurve([1,0,1,0,0]) [E, E.gens(),E.torsion_subgroup().points()] ............ [Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + y = x^3 over Rational Field [], [(0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (0 : -1 : 1)]] ............ https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxzVbBVcM3JySwoyUx2Li0qS9WINtQx0AFhg1hNXq5oVx0FV7301LxiDU0dV72S_KLizPy8-OLSpPSi_NICDU29gvzMvBKgbCwAT2wXag==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ== 116 名前：イナ mailto:sage [2024/01/30(火) 20:06:43.68 ID:aliuHPec.net] 前>>113 >>114そんな一般的な式で表せるんですね。 正解できてよかったです。 安心して眠れます。 117 名前：prime_132 [2024/01/31(水) 00:43:48.70 ID:b6Gsbw7H.net] >>99 https://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/formularo1.html.ja の下の方にあるかも。。。 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/02(金) 13:58:10.51 ID:NUXJCtNP.net] (1)凸多面体には三角形の面または次数3の頂点が必ず存在することを示せ (2)三角形の面も次数3の頂点もない多面体を示せ (文章で答えるのは面倒かも…) 119 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/03(土) 10:32:40.89 ID:iqLz4TOv.net] >>118 (1) n角形面の数をFn、次数nの頂点の数をVn、辺の数をEとすると凸多面体のオイラーの定理から Σ(Fn+Vn)=2+E また辺の数え上げから2E=ΣnFn=ΣnVn よって 2=Σ(1-n/4)(Fn+Vn) と変形できるが、n≧4なら右辺がゼロ以下で矛盾 (2) 上面と底面を開けた四角柱を少しずつ歪めてトーラス状に繋げる 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/03(土) 13:26:03.14 ID:3SMt1m6a.net] (1) Z はコンパクトハウスドルフアーベル群であることを示せ。 (2) Z×Z のハール測度で全測度が 1 であるもの μ をとり確率測度とする。(x,y) を座標関数とする。このとき整数 a,b,c,n で 　 　S = {(x,y) | ax + by ≡ c ( mod n ) } と表される集合 S は可測であることを示せ。またこの場合には 　μ(S) = lim[T→∞] # S∩[1,T]×[1,T] ...(*) が成立することを示せ。 (3) S = { (x,y) | x と y は互いに素 }は可測であることを示し、このときもも(*)が成立することを示せ。さらに μ(S) を求めよ。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/03(土) 13:28:24.91 ID:3SMt1m6a.net] >>120 1行ぬけたorz 追加 整数環の加法群をZであらわし、クルール位相で位相群とみなすとする。 122 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/03(土) 16:29:13.60 ID:uyLPaYjo.net] ごめん、まんまクルール位相だとコンパクトにならないかも 123 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/03(土) 16:57:51.74 ID:uyLPaYjo.net] イヤ大丈夫だった Gm = Z/m!Zに離散位相入れてコンパクト 直積　ΠGm もコンパクト その中の閉部分群 　{(a(m)+m!Z) | a(m) ≡ a(n) (mod n!) (∀m>n)} もコンパクトでコレが Z + Krull 位相 124 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/03(土) 17:54:24.41 ID:uyLPaYjo.net] まだダメだ × Zの可法群 ◯ ΠZ/nZにZを埋め込んだときの閉包 で 125 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/05(月) 20:45:51.08 ID:DEvuP4sR.net] 〔問題〕 mを正の整数とする。 次の条件をみたす正の整数 a,b の組を見つけよ。 　条件(2)　　aa+ab+bb = 7^m. 　条件(3)　　ab(a+b) は7で割り切れない。 数学セミナー, Vol.63, No.3,　Note　(2024/Mar) 126 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/05(月) 21:54:44.45 ID:5z5jWF3G.net] 条件(1)は？ 127 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/05(月) 23:31:04.05 ID:kBKm6I0h.net] ζ = exp( πi/3 ) とおいて N( a+bζ ) = a^2 + ab + b^2 N( 2+ζ ) = 7 128 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 00:22:33.20 ID:ARzyamq0.net] 正値性の担保はどうするんだろう？ 129 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 00:30:11.63 ID:ARzyamq0.net] あと条件(3)は少し無駄あるよね a,b,(a+b)のどれかが7の倍数なら他もそうなるから、aが7の倍数でないってだけで良さそうなのに 130 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 00:34:23.60 ID:TgXxtkkc.net] 元ネタはコレ。。。 A2． 次の条件をみたす正整数 a,b のペアを1組みつけよ。 　条件(i)　　ab(a+b) は7で割り切れない。 　条件(ii)　　(a+b)^7 - a^7 - b^7 は 7^7 で割り切れる。 IMO-1984, チェコスロヴァキア大会 (@プラハ) 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/06(火) 01:31:01.41 ID:AWUf5qiU.net] ω^2+ω+1=0 ∀m∃k,a,b (2-ω)^m = (a+bω)(-ω)^k 132 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 02:02:24.13 ID:ARzyamq0.net] >>131 なるほどね でも4象限分をカバーするためには-ω^2も必要だから 正確には(-1)^p ω^qで調節が正しいような 133 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 02:11:14.67 ID:ARzyamq0.net] というかi^kで調節すればいいか 134 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 02:21:29.72 ID:ARzyamq0.net] いやiは格子からはみ出るからダメだw 135 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 03:00:25.59 ID:ARzyamq0.net] >>132 いや失礼、(-ω)^5=-ω^2だ だからω^3=1でとってるのか位数6になるように 136 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/06(火) 04:10:58.76 ID:FmdKqeZW.net] ガウス環Rはpidで7のRでの素因数分解は 　7 = (2+ζ)(2+1/ζ) よって N(α)=7^m ⇔ α = ζ^p(2+ζ)^q(2+1/ζ)^r (q+r = m) この内 ab(a+b)=0 ⇔ q=r で m:odd ならなし、m:even なら6個 137 名前：prime_132 [2024/02/06(火) 17:04:17.29 ID:TgXxtkkc.net] 剰余の定理より 　(2-x)^m = (xx+x+1)Q(x) + bx + a, 　(2-ω)^m = a + bω, 138 名前：prime_132 [2024/02/06(火) 18:25:40.89 ID:TgXxtkkc.net] 　(2-ω)^m = A(m) + B(m)･ω, とおくと 　A(0)=1,　B(0)=0, 　A(m+1) = 2A(m) + B(m), 　B(m+1) = -A(m) +3B(m), ∴　A, B は整数。 　A+Bω = (a+bω)(-ω)^k,　0≦k≦5, a≧0, b≧0. となるように、次のようにおく。 　A>0, B>0 のとき　(k,a,b) = (0, A, B) 　A≧-B≧0　のとき　(k,a,b) = (1, A-B, A) 　-B≧A≧0　のとき　(k,a,b) = (2, -B, A-B) 　-A>0. -B>0 のとき (k,a,b) = (3, -A, -B) 　-A≧B≧0　のとき　(k,a,b) = (4, B-A, -A) 　B≧-A≧0　のとき　(k,a,b) = (5, B, B-A) 139 名前：prime_132 [2024/02/06(火) 19:01:33.75 ID:TgXxtkkc.net] 偏角について 　arg(A+Bω) = m*arg(2-ω), より 　arctan{(√3)B/(2A-B)} = -m･arctan((√3)/5) 　　　　= -(m/2)arccos(11/14), 140 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/07(水) 15:38:22.39 ID:iS7qpSOT.net] 平面上に有限個の点があり、白か黒の色が付いている. さらに一つの直線上に全ての点が乗ることは無いものとする. このとき, 2点以上の同じ色の点だけを通る直線を引けることを示せ. 141 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/08(木) 02:19:32.64 ID:1eF/7thg.net] Motzkin-Rabinの定理ってやつらしいね。無理ゲー 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/08(木) 06:58:42.81 ID:9mCZdR43.net] これか https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X07010114 面白い 143 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/08(木) 18:03:03.70 ID:32el/UiT.net] >>141,142 仰る通りです 元々の論文の 1. 平面上の点を球面に射影する 2. 球面上の点を球面上の大円と1:1対応させる 2. グラフ理論の問題に帰着→オイラーの多面体定理で導く という流れがあまりにエレガントなのでまた今度分かりやすくまとます 144 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/08(木) 18:03:24.00 ID:32el/UiT.net] まとます→まとめます 145 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/08(木) 20:27:50.68 ID:1eF/7thg.net] >>143 解説お待ちしております 146 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/08(木) 20:59:25.95 ID:XHxX6ZKO.net] 多面体定理とか使えるのか 147 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/08(木) 21:52:49.84 ID:h6CuN/GG.net] 面白いか分からないですが多分難しくはあると思います https://imgur.com/a/1OrUJnb 148 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 04:29:17.91 ID:ANR6tb8+.net] 難しくはありますね。。。 数列 {a_n} が条件 　・初項 a_1 = 1/√2, 　・S_n = Σ[k=1,n] a_k としたとき、次の漸化式を満たす。 　　　(a_n)^2 + (2S_n −1/√2)^2 = 1, 　・すべてのnに対して、a_n > 0. を満たすとき、不等式 Σ[n=1,∞] √{(2a_{n+1})^2 + (a_{n+1}−a_n)^2} < π/4. を示せ。 ------------------------------------------------------ P_n (a_n, 2S_n −1/√2) は単位円上にある。 P_1 (1/√2, 1/√2) から出発し、 S_n は単調に増加する。 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 06:47:08.25 ID:HApxP0U8.net] 高校スレとのマルチ 150 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 15:31:28.41 ID:o3Q5WWbz.net] >>148 kwsk 漸化式そんな風に変形できる？ ほんと？ 151 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 15:44:15.77 ID:o3Q5WWbz.net] ああ、わかった。番号一個ずらしてn=1は別に確かめたのか 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 16:47:58.44 ID:o3Q5WWbz.net] あれ？条件みたす列ある？ 第２項すら正の解ないよ？ Solve[x^2+8sx+4s^2-(2√2)(x+s) == 0,s==1/√2] 153 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 16:50:34.21 ID:o3Q5WWbz.net] 訂正 5 ぬかした Solve[5x^2+8sx+4s^2-(2√2)(x+s) == 0,s==1/√2] https://ja.wolframalpha.com/input?i=Solve%5B5x%5E2%2B8sx%2B4s%5E2-%282%E2%88%9A2%29%28x%2Bs%29+%3D%3D+0%2Cs%3D%3D1%2F%E2%88%9A2%5D 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 18:28:41.07 ID:iGBIM0fe.net] 定規のみを使って、平面上の与えられた直線と平行な別の直線を作図することは可能か。 ただし、定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能であるという定理は用いて良い 155 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 19:30:27.08 ID:MbqznyUZ.net] 平行線かけたら平行線3本と円との6つの交点をXXと結んで直径線が得られて、別の角度で同じことをすれば別の直径線が得られて、交点として円の中心を得る なんか簡単すぎる気がして、どこかミスってる？ 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 19:51:34.37 ID:o3Q5WWbz.net] そもそも 定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能である これ正しい？そんな定理聞いたことないけど。 157 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 19:59:48.66 ID:MbqznyUZ.net] スタイナーの定理というらしいね https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poncelet%E2%80%93Steiner_theorem これのSteiner theoremの項目に書いてる 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 20:14:07.71 ID:o3Q5WWbz.net] ユークリッド図法の作図は、与えられた必要な要素が点（または線）である限り、コンパスと直定規の両方を使って作図できるものであれば、直定規だけを使って作図してもよい。 なんでこれで 定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能である が証明できるん？ 159 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 20:27:45.37 ID:MbqznyUZ.net] メイン項目じゃなくて、サブ項目のSteiner's theoremのとこ見て 160 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 21:21:58.09 ID:2zDPeVIc.net] >>158 2次方程式が解けないからだと思うな 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 21:36:43.10 ID:o3Q5WWbz.net] >>159 ほんとだ。あった。 言われてみれば当たり前か。 証明のナイーブな要約は以下の通りである。直定規を用いれば，線形射影変換のみが可能であり，線形射影変換は可逆操作である．直線はどのような線形射影変換のもとでも直線上に射影され、円錐断面は線形射影変換のもとでも円錐断面上に射影されるが、後者は偏心、焦点、円の中心が保存されないように歪む。異なる写像の連続の下では、中心は一意的かつ可逆的に写像されない。もし直線を使って円の中心を決めることができれば、このようなことは起こらない。線形変換は可逆的な操作であり、従って一意的な結果をもたらすので、一意的な結果が得られないという事実は、中心点の構築の不可能性を意味する。構築された中心の一意性は、構築を可逆にする追加情報に依存する。 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 21:53:29.46 ID:o3Q5WWbz.net] 例あるね。射影変換 (x:y:z) → (x,y,z+x/2) で単位円 x^2+y^2 = z^2 上の点の行先計算すると (1:0:1) → (1:0:3/2) = (2/3:0:1) (-1:0:1) → (-1:0:1/2) = (-2:0:1) (0:0:1) → (0:0:1) だから中心はずれるんだ。なるほど。 163 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/09(金) 22:48:45.80 ID:MbqznyUZ.net] あれ、、線形射影変換って式で書くとどういうやつ？ 一次分数変換なら分母がゼロになるとこでは定義されないような 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/09(金) 23:06:52.76 ID:iGBIM0fe.net] >>155 正解 ちょっと頭の体操的な感じの問題って補足入れとけば良かった 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/10(土) 02:08:06.34 ID:Wbrvic9t.net] PGL^3(R) を RP^2 へ作用させる 定義域は RP^2 全体 166 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/10(土) 04:26:14.70 ID:ThHNrf//.net] Mathlogで恐縮ですが、 >>140の解説を作りました https://mathlog.info/articles/iVggjQl9cWAuXfxlo0CZ 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/10(土) 05:55:23.31 ID:Wbrvic9t.net] GJ 素晴らしい。 もしかして単純平面グラフの辺を２色に塗り分けると一色頂点が必ず生じるまで言えてる？ 168 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/10(土) 06:04:03.53 ID:ThHNrf//.net] >>167 それは残念ながら言えないですね 例えば四角形で考えて、青赤を交互にすればどの頂点も異なる色の変を結合してます 今回の場合は大円がクロスする設定なので言えるということですね 169 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/10(土) 06:04:24.07 ID:ThHNrf//.net] 色の変→色の辺 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/10(土) 07:03:46.80 ID:Wbrvic9t.net] でも「大円の交差」なんてほとんど使ってないような。 せいぜい c(v)≧4 くらいでしょ？ まぁgeneral nonsense かもね。 171 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/10(土) 12:10:33.34 ID:ThHNrf//.net] >>170 確かにそうですね 一般的な2色辺の単純平面グラフであれば、 「c(v)≦2となる頂点vが必ず存在する」 とまでは言えますかね 172 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/11(日) 03:22:18.34 ID:kz7EJAxM.net] >>125 いま　c = -a -b を追加すると、題意の条件は 条件(1)　a+b+c = 0, 条件(2')　ab+bc+ca = -7^m, 条件(3')　abc ≢ 0　　(mod 7) と対称化される。(それが狙い) そこで 　　　(A｡, B｡, C｡) = (1, 0, -1) 　　　A_{n+1} = 2A_n - B_n, 　　　B_{n+1} = 2B_n - C_n, 　　　C_{n+1} = 2C_n - A_n, によって数列 {A_n} {B_n} {C_n} を定義すれば、いずれも 　　X_{n+1} = 5X_n - 7X_{n-1}, なる漸化式を満たし、上記の条件を満たす。 {A_m, B_m, C_m} のうちの2つは同符号だから、 それらの絶対値を a, b とおけば題意を満たす。 数セミ, Vol.63, No.3, Note (2024/Mar) 173 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/11(日) 05:28:24.56 ID:kz7EJAxM.net] 1の3乗根 　ω = {-1 + √(-3)}/2,　 　ω~ = {-1 - √(-3)}/2, 特性値 　ξ = 3 + ω, 　ξ~ = 3 + ω~, を使って一般項を表わせば 　A_n = {ω ξ^n - (ω~)(ξ~)^n} / √(-3), 　B_n = {ξ^n - (ξ~)^n} / √(-3), 　C_n = {(ω~) ξ^n - ω (ξ~)^n} / √(-3), 174 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/11(日) 15:21:14.01 ID:7zUr7YH8.net] Σ_{n=-∞}^∞ f(n) = ∫_-∞^∞ f(x)dx となる0ではない実解析的関数f:R→Rは存在するか？ 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/11(日) 16:31:13.46 ID:n0tHiTUW.net] ∫_-∞^∞ exp(-n^2/2) = √(2π) ∫_-∞^∞ exp(-n^2) = √(π) sum_(n=-∞)^∞ exp(-n^2/2) = ϑ_3(0, 1/sqrt(e))≈2.50663 sum_(n=-∞)^∞ exp(-n^2) = ϑ_3(0, 1/e)≈1.77264 a √(2π) + b √(π) = a ϑ_3(0, 1/sqrt(e)) + b ϑ_3(0, 1/e) has non trivial roots 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/11(日) 16:33:21.02 ID:n0tHiTUW.net] >>175 自明解しかないorz 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/11(日) 16:34:40.99 ID:n0tHiTUW.net] ま、もう一個つかえばいいんだけど 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/11(日) 16:49:48.58 ID:n0tHiTUW.net] あるやん a = √(π) - ϑ_3(0, 1/e) -b = √(2π) - ϑ_3(0, 1/sqrt(e)) 179 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/11(日) 20:15:06.86 ID:CL0NvoIK.net] R正値、実解析的な R 上の関数の集合を S とし線形汎函数 L, l を 　L(f) = ∫_-♾ ^♾ f(x)dx 　l(f) = Σ_-♾ ^♾ f(n) とし、S0 = { L(f), l(f) < ♾ } とおく S0上で sup{ L(f)/l(f) }, inf{ L(f)/l(f) } を求めよ 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/11(日) 21:35:52.56 ID:dGLcwKey.net] >>174 F(t,n) := e^(-(t+n)^2) ∀t∈[0,1] ∫_(0≦t'≦1) Σ_(n∈Z) F(t',n) dt' = ∫_(x∈R) F(t,x)dx ∴ ∃t∈[0,1] Σ_(n∈Z) F(t,n) = ∫_(x∈R) F(t,x)dx 181 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 05:11:10.47 ID:+Po9oMVI.net] 正ｎ角形には、それに内接する正方形が存在するらしい。 182 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 09:04:15.71 ID:Tp7YWVSN.net] あたまえ 183 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 09:07:57.94 ID:+X+7vVe8.net] 正多面体は内接球を持つ 184 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 09:11:44.56 ID:Tp7YWVSN.net] 線対称軸に直交する直線と正n角形の交点2つそれぞれ線対称軸に並行に直線引いて正n角形の交点2つを通る直線は線対象軸に直交するので4点で長方形 最初の直線を連続に変化させて長方形の辺の長さの差は連続的に変化するから中間値の定理により0すなわち正方形になることがある 185 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 09:16:23.37 ID:Tp7YWVSN.net] >>183 あたまえ 5個しかない 186 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 09:58:28.62 ID:y+EfK879.net] 準正多面体で内接球を持つものは 正多面体に限る 187 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 10:25:45.00 ID:Tp7YWVSN.net] あたまえ 3個しかない 188 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 11:59:07.17 ID:1PU5hMSh.net] 正多面体は５個だが 準正多面体は１３個 189 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 19:23:07.68 ID:GQw536ZS.net] >>188 >準正多面体は１３個 そうなの？半正多面体じゃ無くて？ 190 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 19:25:22.13 ID:GQw536ZS.net] 考えてみたら 内接球って 各面に接しないと行けないという縛りが無くてもいいよな ならどんな多面体にも内接球はあるんじゃネ？ 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/13(火) 19:56:34.15 ID:luyiT2KY.net] 不等式 ∫[0,1] exp(-x)*(x^2+x+1) dx > 1 を示せ。 192 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 20:53:09.30 ID:ypw9noSj.net] ん、普通に積分が実行できてしまうけどいいの？ 193 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 22:11:10.46 ID:+X+7vVe8.net] >>190 三角形の内接円は？ 194 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 22:32:47.41 ID:Tp7YWVSN.net] >>193 必ず存在するでしょ？ 195 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/13(火) 22:40:04.00 ID:+X+7vVe8.net] >>190 >どんな多面体にも内接球はあるんじゃネ？ だとするとどんな四角形にも内接円はあるんじゃネ？ 196 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 00:08:25.05 ID:Gsin+Z4o.net] >>195 あるんじゃね？ >>190と同じ意味なら 197 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 00:21:42.48 ID:GNIan5Mg.net] https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B0%2C1%5D+exp%28-x%29*%28x%5E2%2Bx%2B1%29+dx+%3E+1 198 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 01:32:42.31 ID:e0NB9mZ7.net] >>191 1 + x + (e-2)x^2 　= 1 + x + (Σ[k=2,∞] 1/k!) x^2 　≧ 1 + x + Σ[k=2,∞] (1/k!) x^k　　( |x|≦1 ) 　= e^x,　　　　　(← マクローリン展開) より、被積分関数は 　（1+x+(e-2)x^2）e^{-x} ≧（e^x）e^{-x} = 1, これを [0,1] で積分すると 　∫[0,1]（1+x+(e-2)x^2）e^{-x} dx > ∫[0,1] dx = 1, ・普通に積分を実行すると 　∫[0,1]（1 + ｘ + (e-2)x^2）e^{-x} dx 　　= [（-2(e-1) - (2e-3)x - (e-2)x^2）e^{-x} ] (x=0,1) 　　= 1 + (2ee - 8e + 7)/e 　　> 1, *)　e-2 > 1/√2 = 0.707107　より 　0 < 2(e-2 - 1/√2)(e-2 + 1/√2) = 2ee - 8ｅ + 7, 199 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 01:36:38.84 ID:oFV0qf5m.net] ん、なんでx^2の係数をe-2にしてんの 200 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 01:59:52.13 ID:e0NB9mZ7.net] 被積分関数は （1+x+xx）e^{-x} 　　≧（1+x+xx)（1 - x + xx/2 - x^3/6) 　　= 1 + xx(1-x)(3-x+xx)/6 　　> 1, 201 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 02:52:22.75 ID:oFV0qf5m.net] ああ、x=1のときf(x)=1になるようにギリギリまで調整したのか 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/14(水) 11:34:13.07 ID:1ZQejWDl.net] 以下の2条件を満たす実数a,bを決定せよ。 ・0≦x≦1で常に exp(-x)*(x^2+ax+b) ≧ 1 が成立する。 ・| ∫[0,1] exp(-x)*(x^2+ax+b) dx - 1 | を最小とする。 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/14(水) 18:21:06.03 ID:KR7c1JPW.net] ◆10000099から10000139の範囲に 素数は三個 10000103 10000121 10000139 ◆superPCM関数 Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}] {0, 0, 10000103, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10000121, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10000139} ◆的中率100％ 204 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 18:23:05.87 ID:oFV0qf5m.net] 最初の条件から積分は非負なのに絶対値つけてるのはなぜ？ 205 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 18:28:03.99 ID:Gsin+Z4o.net] -1 206 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 18:47:06.60 ID:oFV0qf5m.net] もちろん-1も込みでさ 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/14(水) 19:32:07.14 ID:7Kq4N6qo.net] 2以上の自然数は二つの不足数の和として表せることを示せ。 208 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 19:52:29.66 ID:oFV0qf5m.net] 不足数（ふそくすう、英: deficient number）とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より小さい自然数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/14(水) 20:08:52.43 ID:KR7c1JPW.net] ◆19999から20139の範囲に 素数は15個 20011 20021 20023 20029 20047 20051 20063 20071 20089 20101 20107 20113 20117 20123 20129 ◆superPCM関数 Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a)) C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}] {0, 0, 0, 0, 0, 0, 20011, 0, 0, 0, 0, 20021, 20023, 0, 0, 20029, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20047, 0, 20051, 0, 0, 0, 0, 0, 20063, 0, 0, 0, 20071, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20089, 0, 0, 0, 0, 0, 20101, 0, 0, 20107, 0, 0, 20113, 0, 20117, 0, 0, 20123, 0, 0, 20129, 0, 0, 0, 0, 0} ◆的中率100％ 210 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 22:33:06.77 ID:BMdi34BM.net] 複素平面の原点中心の単位円周上の 任意の４点a,b,c,dに対し |(a-b)(b-c)(c-a)|+|(d-b)(b-c)(c-d)| =|(a-b)(b-d)(d-a)|+|(b-c)(c-d)(d-b)| であることを示せ 211 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/14(水) 22:59:43.02 ID:oFV0qf5m.net] 両辺に同じ項があるけどいいの？ 212 名前：prime_132 [2024/02/14(水) 22:59:56.77 ID:e0NB9mZ7.net] 3点を頂点とする�凾ﾌ面積を S(a,b,c) 等とすると 　S(a,b,c) + S(c,d,a) = ◇abcd = S(d,a,b) + S(b,c,d) 4点は同一円周上にあるから、外接円の半径は4つともR. 正弦定理などから 　S(a,b,c) = |a-b||b-c||c-a|/(4R),　etc. これを上式に入れる。 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/14(水) 23:36:44.52 ID:oDzxHQfJ.net] 4点の並び順でダメになる悪寒 214 名前：prime_132 [2024/02/15(木) 00:24:24.33 ID:D39/Q2ae.net] ∫[0,1] exp{-x}*(xx+ax+b) dx - 1 = (1-5/e) +(1-2/e)*a + (1-1/e)*b, f(x) = exp(x) - (xx+ax+b), f'(x) = exp(x) - (2x+a), とおき、x=t で接線を曳くと 　y = f(t) + f '(t)(x-t) 　= {(2-t)exp(t) + (1-t)^2 -a-b-1}x + {(1-t)exp(t) + tt -b}(1-x), この｛係数｝が 非負となることから 　a = exp(t)-2t, 　b = (1-t)exp(t)+tt, 　0 ≦ t ≦ 0.530344380003 = t。 とくに 　t = 0.91609609550723623235 のとき与式は0. 　a = 0.66757810220720117214 　b = 1.04871564137916267277 215 名前：prime_132 [2024/02/15(木) 00:28:06.81 ID:D39/Q2ae.net] 　Max｛ exp{-x}*(xx+ax+b) -1 | 0≦x≦1 ｝= 0, は 　min｛ f(x) | 0≦x≦1 ｝= 0, ここに 　 f(x) = e^x - (xx+ax+b). 216 名前：prime_132 [2024/02/15(木) 02:13:46.69 ID:D39/Q2ae.net] ↑ tが範囲外でした。訂正ｽﾏｿ. とくに 　t = (e-2)/(e-1) = 0.4180232931306736 　a = 0.682909468970708 　b = 1.058740516502987 のとき 　(与式) = ∫[0,1] exp{-x}(xx+ax+b) dx - 1 　　= (1-5/e) + (1-2/e)*a + (1-1/e)*b 　　= (e-1)exp( -1/(e-1)) -1/(e-1) - 1/e 　　= 0.01030720242853945878 217 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/15(木) 05:59:59.90 ID:/VWIjnQ+.net] 210と同じ円上の3点をa,b,cとし a,b,cでその円に外接する三角形があるときには その面積は |a-b||b-c||c-a|/|a+b||b+c||c+a| 218 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/15(木) 10:10:58.86 ID:/VWIjnQ+.net] 絶対値をつけずに書いたのがガウス 219 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/15(木) 12:25:55.04 ID:D39/Q2ae.net] a = e^(iα),　b = e^(iβ),　c = e^(iγ) とすると、外接?の頂点 (接線の交点) は 　A = (b+c) /{1+cos(β-γ)}, 　B = (c+a) /{1+cos(γ-α)}, 　C = (a+b) /{1+cos(α-β)}. 　S = r*(|A-B| + |B-C| + |C-A|)/2, 220 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/15(木) 12:32:59.50 ID:WruD72bE.net] r*の意味は？ 221 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/15(木) 14:16:05.00 ID:qhy0l+2R.net] 絶対値なければ自由に a,b,c,d とれるんだな。大体初等幾何つかう証明は配置で場合わけしないといけない。今回のは絶対値のせいで配置によってはそもそも成立しない。 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/15(木) 15:25:02.32 ID:F4FmDj7n.net] 【慶應理工第3問の一般化】 aは1より大きい実数の定数とする。 微分可能とは限らない連続関数f(x)はf(x)>0をみたし、1≦x≦aで単調に減少するものとする。tを実数とし、Sを S=∫[1,a] |f(x)-tx| dx で定める。 Sが最小になるようなtをaで表せ。 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/15(木) 17:30:52.12 ID:OvJOEL3c.net] ◆素数位置特定アルゴリズム (superPCM関数) Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a)) C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}] aの終値は、 nの初期値よりも小さくする 入力条件はそれだけ 224 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/15(木) 20:49:21.24 ID:/VWIjnQ+.net] >>219 r*の意味は？ 225 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/16(金) 03:13:57.23 ID:FaLhDcse.net] >>222 変な問題 aだけで表せるはずない 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 04:23:09.20 ID:r2V+9bHm.net] √15+√10の整数部分を求めよ。 （灘高校） 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 09:44:06.62 ID:22bGt7Ze.net] 【慶應理工第3問の一般化】 aは1より大きい実数の定数とする。 微分可能とは限らない連続関数f(x)はf(x)>0をみたし、1≦x≦aで単調に減少するものとする。tを実数とし、Sを S=∫[1,a] |f(x)-tx| dx で定める。 Sが最小になるようなtをfとaで表せ。 228 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/16(金) 11:58:41.61 ID:pkgqQLXm.net] >>219 r*の意味は？ 229 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/16(金) 15:28:00.37 ID:RXv22/cg.net] >>226 高校数学質問スレ432の解答 　(√15 + √10)^2 = 2(15+10) - (√15 - √10)^2 　　< 2(15+10) = 2･5･5, ∴　√15 + √10 < 5√2 = 7071…, (√15+√10)^2 - 49 = 10√6 - 24 = 10(√6 -2.4) > 0, 　√15 + √10 > 7, ∴　7 < √15 + √10 < 7.1 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 15:46:47.37 ID:EYC78kDg.net] √15 + √10 = 7 - ( 4 - √15 ) + ( √10 - 3 ) = 7 - 1/( 4 + √15 ) + 1/( √10 + 3 ) > 7 √15 + √10 < √20.25 + √12.25 = 4.5 + 3.5 = 8 231 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/16(金) 15:56:36.48 ID:RXv22/cg.net] √15 - √10 = (15-10)/(√15 + √10) > 5/(5√2) = 1/√2, を再び上の式に入れると (√15 + √10)^2 < 2(15+10) - 1/2 = 7^2 + 1/2, ∴　√15 + √10 < 7 + 1/(7･4) = 7.035… 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 16:33:19.80 ID:vk0wTJMQ.net] >>226 √16-√15 = 1/(√16+√15) < 1/(√10+√9) = √10-√9 ∴ √15+√10 > √16+√9 = 7 √15+√10 < √16+√16 = 8 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 16:48:44.44 ID:EYC78kDg.net] g(x) = f(√x)/√x は単調減少、g^(-1)(x) = h(x) とする。 S=∫[1,a] |f(x)-tx| dx 　=∫[1,a] |f(x)/x-t| xdx 　=∫[1,a^2] |g(u) - t| du/2 　=∫[f(a)/a,t] |a^2 - h(v)| dv/2 　+∫[t,f(1)/1] |h(v) - 1 | dv/2 ( u = g(v) は v = f(√u)/√u の逆関数 ) dS/dt = -|a^2 - h(t)| + |h(t) - 1 | = - a^2 - 1 + 2h(t) = 0 ( if t = g((a^2+1)/2) = f((a^2+1)/2)/((a^2+1)/2) ), <0 ( if t < g((a^2+1)/2) = f((a^2+1)/2)/((a^2+1)/2) ), >0 ( if t > g((a^2+1)/2) = f((a^2+1)/2)/((a^2+1)/2) ) 234 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/16(金) 18:54:57.98 ID:MfqdGE+q.net] >>219 r*の意味は？ 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 20:07:50.42 ID:EYC78kDg.net] f は連続としてよい。 (∵) Pを任意にとるときx軸の点A,Bとy軸の点C,DでPは線分AC,BD上にあるとしてよい。(∵ x軸、y軸上に不連続点は高々可算個しかないがPを通る直線は非可算無限個ある。)P'がPに十分近いときPを通る直線ACに平行な直線とx軸y軸の交点A'C'をとればA'はAに十分近く、C'はCに十分ちかい。同様にB',D'をとれば仮定よりf(A'), f(B'), f(C'), f(D')はf(A), f(B), f(C), f(D)に十分ちかい。□ A(0,0), B(1,0), C(0,1) として BC中点を L, CA を M AB の中点を N とする。A,B,C は不動点としてよい。 (∵) f(A),f(B),f(C) が同一直線上なら l を直線 AB,m を直線ACとして n = f(l) = f(m) とすればこれらはどちらも f(A) を内部に含む n 上の区間でなければならないから f(l)∩f(m) は f(A) 以外の点を含まねばならず矛盾である。よって f(l) ≠ f(m) であり、とくに affine 変換 g で g(f(A) = A, g(f(B)) = B, g(f(C)) = C となるものをとって f の代わりに gf で議論すればよい。 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 20:08:23.06 ID:EYC78kDg.net] L, M, N も不動点としてよい。 (∵) もし不動点でないものが一つでもあれば点をとりなおして (a) f(M)はAに近づくか不動、f(N)はAから遠ざかるか不動、 (b) M,Nのいずれかは不動点でない と仮定してよい。(∵ チェバの定理) BA, AC を t:1-t に内分する点を P,Q とする。0<t<1/2 のとき P は開線分MB上、 Q は開線分AN上である。とくに直線PQと直線BCの交点Xは半直線CB上にある。一方で仮定より t → 1/2-0 とすれば f(P) → f(M), f(Q) → f(N) である。とくに直線 f(P)f(Q) と直線BC の交点は半直線BC上にある。しかし f は直線上の順番を変えないので矛盾である。 以上の議論を不動点と確定した３点としてとりかえることにより△ABC上の点で座標が分母が2べきの有理数である任意の有理点(以下Fと記す)はすべて不動点である。 以上の準備の元 f が恒等写像になることを示す。P を任意にとり ε>0 を任意に選ぶ。十分小さい δ>0 を f(B(P,δ)) ⊂ B(P,δ) となるように選べる。B(P,δ)の点ＱとFの相異なる４点 X,Y,Z,W を QXY, QZW が同一直線上になるように選べる。(∵ X,Z を F から選び △ABC上のY0,W0を直線PX, 直線PZから選ぶ。 △ABC上のX,Zとことなる二点 Y,W に対して直線 XY と直線 ZW の交点をあたえる関数 F(Y,W) は Y,W について連続でF(Y0,W0) = P。) このとき f(Q) = Q であり仮定から f(P)∈B(f(Q),ε) でなければならないから f(P)∈B(f(P),ε) でなければならない。ε は任意だから f(P) = P である。 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/16(金) 20:09:11.02 ID:EYC78kDg.net] 誤爆orz 238 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 13:28:51.63 ID:ltgDGmSb.net] 誤爆ついでに訂正もここに f の像が全部同一直線上にのる可能性の吟味が抜けてた f は相異なる2直線を異なる2直線に移す (∵) ひと組でも相異なる直線が同一直線に移されるなら f の像は全て同一直線に移されるのは容易に示される。 よってim(f)は実軸としてよい、すなわち実数値関数とみなしてよい。 m = supp{ f( P) } とおいて m < ∞ なら g(P) = - log( m - f(P)) に取り替えて m = ∞ としてよい。 まず半直線 OA で sup{ f( OA)} = ∞ となるものが取れる事を示す 第一象限の点列 Pn が lim f(Pn) = ∞ を満たすとしてよい A = (1,0),B = (0,1), b= sup{ f( OB)} とおいて b = ∞ ならそれでよいので n < ∞ とする 全てのn で f(Pn) > b としてよい Pnを通る傾き-1の直線とxj軸y軸の交点をQn,Rnとすれば f(Tn)≦b<f(Pn)よりf(Qn) > f(Pn) だからlim f(Qn) = ∞である 239 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 13:29:19.48 ID:ltgDGmSb.net] 以下A = (1,0)、sup{ f( OA)} = ∞ とする。 さらに f を x 軸に制限したとき原点で連続としてよい f(O) = 0 としてよい Oを端点とする半直線の全体を考える コレはS^1と同一視できる まず半直線OPに対してf(OP)は全て非負値か全て非正値である、前者を正、後者を負と呼ぶ OP、OQが共に正または負ならOP,OQを端点とする劣弧上のORもそうである よって正の半直線のなす集合は半円になる 正の半直線のなす集合は開集合である事を示す。 まずQ(0,1), R (0,-1)、f(Q), f(R) < f(P) ととりQP, RPの外分点S,TをPの近い側に取ればOS,OTは正だからOPは内点である OPがOAでない正の半直線とする x軸上でfは連続だから(-∞,0),(0,∞) からQ,Rをf(Q), f(R) < f(P) ととりQP, RPの外分点S,TをPの近い側に取ればOS,OTは正だからOPは内点である 以上により正の半直線の集合は開半円で端点は共に負の半直線であるが矛盾である⬜︎ 240 名前：prime_132 [2024/02/18(日) 14:40:43.10 ID:zH+eIKQ1.net] >>216 t = (e-2)/(e-1) := t。のとき 　xx + ax + b = (x -t｡)^2 + (x+1-t｡)e^t｡ 　　≧ e^x. 等号成立は x=t。 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/18(日) 15:17:51.95 ID:194Z0TJ5.net] ◆√15+√10の整数部分を求めよ √15+√10＜√16+√10 √15+√10＞√15+√9 √15+3＜√15+√10＜4+√10 √15+3＜4+√10 √15-√10＜4-3 ∴√15+√10＞4+3 242 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 16:14:47.24 ID:HkaSJUS+.net] 自然数mの異なる素因数すべての積をf(m)とする(ただしf(1)=1とする。例えばf(12)=2×3=6)　数列｛a_n｝を、a_1を自然数、 a_(n+1)=a_n+f(a_n) (n=1,2,...) で定める。｛a_n｝の連続する項には任意の長さの等差数列を含むことを示せ。 243 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 16:50:02.52 ID:zH+eIKQ1.net] 根基よく やってますね。。。 244 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 18:46:27.22 ID:ltgDGmSb.net] 長さについての帰納法 a1〜an が等差とする f(an)/f(a1) = k としてb1 = ka1から始めるとf(b1)〜f(bn) = f(an) となりb1〜b[n+1]が等差 245 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 19:01:53.24 ID:f/NFxhK6.net] >>219 r*の意味は？ 246 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/18(日) 19:07:00.68 ID:ltgDGmSb.net] てかn-1以下の素数全部かけたやつからスタートしたら第n項まで等差か 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/18(日) 22:41:34.90 ID:NGIRQ7ww.net] a_1がどんな自然数であっても、ってことじゃないの？ 248 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/19(月) 00:26:14.12 ID:2d7KCZsg.net] f(an)のなす列をbnとする cn = an/bn は自然数列となる bnの値が更新される番号を並べてnkとする、ie bn ≠ b_n-1 ⇔ ∃k ≧ 2 n = nk で n1 = 1 とする n_k+1 - n_k が有界として上界 m をとる cnk の値の増減を考える cn_k+1 = ( cnk + (n_k+1-nk ) / ( bn_k+1/bnk) である、つまり新しいc_n+1 は c_n に高々m加えられた後、bn_k+1/bnk で割って得られる ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で有界ではあり得ない よって十分大きなkでbn_k+1/bn >2mとなり cn_k+1 < (cnk + m)/(2m) < cnk となりcnkは自然数の単調減少列となり矛盾を生じる 249 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/19(月) 00:33:16.71 ID:2d7KCZsg.net] ×ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で有界ではあり得ない ◯ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で2m以下の項は高々有限個しかない 250 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/19(月) 08:49:48.38 ID:8omX0LHh.net] >>248 cn_k+1 = ( cnk + (n_k+1-nk ) / ( bn_k+1/bnk) これはどうして成り立つ？ 251 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/19(月) 10:25:00.58 ID:2d7KCZsg.net] n = nk, m = n_k+1 までは bn ずつ増えるので an, an+bn, an+2bn, ... , an+(m-n)bn = am bn で割って cn + (m-n) = am/bn = cm × bm/bn より 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/20(火) 23:45:01.11 ID:iCIK24hu.net] a_1≧2 としてよい。 f(a_n) の素因数分解に出現する素数の集合を S_n と置くと、 f(a_n)＝Π[p∈S_n] p である。さらに、a_{n＋1}＝a_n＋f(a_n) により、 f(a_n) に出現する素因数は a_{n＋1} の素因数としても出現する。 よって、f(a_{n＋1}) の素因数としても出現する。 よって、S_n は集合として広義単調増加である。 数列 a_n の中に含まれる等差数列の長さに最大値があったとして、 その長さを d とする。a_{n＋1}−a_n ＝ f(a_n) であるから、 もし f(a_n), f(a_{n＋1}), …, f(a_{n＋d−1}) が全て同じ値なら、 a_n 〜 a_{n＋d} の(d＋1)項は等差数列となって矛盾する。 よって、ある n≦i＜j≦n＋d−1 に対して f(a_i)≠f(a_j) である。 f(a_n)＝Π[p∈S_n] p だったから、S_i≠S_j である。 また、S_n は広義単調増加なのだった。 よって、S_1,S_2,S_3,S_4,… と順番に見ていくと、 S_* が増加せずに停止しているのは連続する(d−1)個までが 限界で、それ以上だと新しい素数が必ず追加される。 よって、|S_n|≧ n/d (n≧1) である。すると、 a_{nd} ≧ f(a_{nd}) ＝ Π[p∈S_{nd}] p ≧ Π[k＝1〜n](k番目の素数) ≧ n！ である。一方で、a_{n＋1}＝a_n＋f(a_n)≦2a_n により、 a_n≦2^{n−1}a_1 なので、a_{nd}≦2^{nd−1}a_1 である。 よって、n！≦2^{nd−1}a_1 となるが、nが十分大きいとき、 この不等式は成り立たない。 253 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/21(水) 23:26:39.61 ID:D0gO+4cy.net] >>207 これ数論の難問パターンっぽいけど、初等的に解けるの？ 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 01:14:41.54 ID:slsalnuI.net] >>253 まあ解ける 難しいのは有限和のΣの入れ替えと Σ_(n∈N) 1/n^2 = π^2/6 くらい ただ想定解では若干場合分けが面倒な箇所がある 255 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 05:19:01.64 ID:0BU0iZIz.net] 常にちょうど２個？ 256 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 08:47:08.48 ID:V3rEB6mA.net] a_1=1、a_(n+1)=a_n+⌊√(a_n)⌋ とする。(実数A を超えない最大の整数を⌊A⌋ と書く)。 任意の素数pに対し、{a_n} 内にpの倍数の項が無数にあることを示せ。 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 13:05:36.31 ID:+/LbCsyY.net] >>255 ごめんちょっとどういう質問かわからない ３個や４個で表せないことを示せという問題ではないよ（3=1+1+1等反例があるので） 勿論１個で表せるからOKというのもノーカン （だから例えば3が不足数だからといって3=3だからOKとするのではなく、3=1+2という例が常に存在することを示してほしい） 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 15:00:55.18 ID:2fFBSdvw.net] >>257 これであってる？ ∀n∈ℕ ∃a,b∈ℕ s.t. n = a+b, σ(a)<2a, σ(b)<2b (σ(x)はxの正の約数の総和) 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 16:41:59.04 ID:+/LbCsyY.net] >>258 そう　ただし最初は ∀n∈ℕ-{1} ね 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 20:48:40.34 ID:ePlO+X//.net] wikiの完全数の記事により、自然数全体の中での 偶数の完全数の割合は自明に 0 である。 また、奇数の完全数の割合も 0 であることが計算できる。 さらに、wikiの過剰数の記事により、自然数全体の中での 過剰数の割合は 0.2474 から 0.2480 の間であるらしい(証明は知らん)。 よって、不足数全体の集合を A と置けば、 liminf[n→∞]｜A∩[1,n]｜/n ≧ 1−0.2480 ＞ 1/2 なので、ある n_0 が存在して、n≧n_0 のとき｜A∩[1,n]｜/n ＞ 1/2 となる。すると、任意の n≧n_0 は2つのAの元の和で表せる。 なので、結果そのものは不思議ではない。 まあ、想定解はこんなのではないだろうが。 261 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 21:28:03.26 ID:0BU0iZIz.net] とりあえず反例が高々有限個まで言えた B(x) を x以下の２冪の集合とする。 容易に#B(x)>logx/log2-1であり全てのm∈B(x)は不足数である n が不足数の和で書けないとすると任意のm∈B(n/2)についてn-mは不足数ではないからσ(n-m) ≧ 2n -2m ≧ n だから Σ[m∈B(n/2)]σ(n-m) ≧ n#B(n/2) ≧ n( logn/log2 - 2)...(★) である 一方で Σ[k≦n]σ(k) ≦ Σ ⌊n/l⌋≦ n∫_1/2^n+1/2 dx/x = log(2n+1)...(⭐︎) よって log(2n+1)≧logn/log2-2 ⇔ (2n+1)^log2 ≧ n /e^2 ⇔ n≦3241 が必要である 262 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 21:42:58.93 ID:0BU0iZIz.net] 3冪も使ったら32以下まで絞れた 263 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 21:43:06.79 ID:0BU0iZIz.net] https://ja.wolframalpha.com/input?i=log%282n%2B1%29%E2%89%A7%28log%28n%2F2%29-1%29%2Flog%282%29%2B%28log%28n%2F2%29-1%29%2Flog%283%29 264 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 22:15:24.93 ID:0BU0iZIz.net] 間違った https://ja.wolframalpha.com/input?i=log%282n%2B1%29%E2%89%A7log%28n%2F2%29%2Flog%282%29%2B%28log%28n%2F2%29-1%29%2Flog%283%29-2 48以下 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 22:49:03.39 ID:+/LbCsyY.net] >>261 ☆は最右辺が nlog(2n+1) の誤りだとしても成り立たないと思う 少なくとも Σ_[k≦n] σ(k) ≧ Σ_[k≦n] k = n(n+1)/2 だから、上から抑えるとしたら二次以上の関数になるはず 266 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 23:03:18.51 ID:0BU0iZIz.net] なぜ Σ[k≦n]σ(k) の「あるn以下の自然数として出てくる自然数」を「自然数lが出現する回数」と考えて「lが出てくる回数は高々⌊n/l⌋回」ってよくみるテクニックだと思うけど つまり Σ[k≦n]Σ[l|k]1 =Σ[l≦n]Σ[k≦n,l|k]1 =Σ[l≦n]Σ⌊n/l] ちなみにコレはwikiに載ってるσの漸近評価 limsup σ(n)〜nlog(log(n)) ともマッチしてるのではないかと 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 23:14:06.01 ID:+/LbCsyY.net] Σ[k≦n]Σ[l|k]1 じゃなくて Σ[k≦n]Σ[l|k]l じゃないの？そうするとその次は =Σ[l≦n]lΣ[k≦n,l|k] =Σ[l≦n]l[n/l] になる。lをどこかで1と勘違いして係数落としたのでは？ 268 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 23:34:12.62 ID:0BU0iZIz.net] もう少し丁寧に書けばメンドイので自然数は[1,n]で走らせるとしてS={(k,l) ; l|k} のindicatorをμ(k,l)として Σ[k]σ(k) =Σ[k]Σ[l]μ(k,l) =Σ[l]Σ[k]μ(k,l) =Σ[l]Σ[k]⌊n/l⌋ indicatorのsumupの形にして足す順番変えるのはよく使うハズ 確か三井先生の解析数論の教科書で初めて見たかな？ 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/22(木) 23:37:41.68 ID:+/LbCsyY.net] >>268 えっねえ σ は正の約数の総和であってるよね？ 絶対引数以上になる関数を n まで足して n(n+1)/2 以上にならないっておかしいと思わない？ 270 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 23:51:21.52 ID:0BU0iZIz.net] 間違ってますか？ 指摘して下さい 271 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/22(木) 23:58:32.02 ID:0BU0iZIz.net] 訂正ついでに Σ[k]σ(k) =Σ[k]Σ[l]μ(k,l) (kを固定してlを走らせてsのindic.をたし合わせてσ(k)になる) =Σ[l]Σ[k]μ(k,l) (足し算の順番変えても同じ) =Σ[l]⌊n/l⌋ (lを固定してkを走らせてSのindc.を足すとn以下のlの倍数になるから⌊n/l⌋になる) 272 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 00:19:19.08 ID:+G4gJJ/m.net] 和の上からの評価 Σ[l≦n]n/l は各項をy=n/xのx=lでの接線とx軸,x=l±1/2で囲われた台形の面積と考えてその総和は1/2≦x≦n+1/2,0≦y≦n/xの面積以下なので ∫_1/2^n+1/2 n/x dx = n log(2n+1) で抑えられる 問題なくない？ 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 00:19:38.65 ID:OomlBQs+.net] >>271 何度も指摘してるからちゃんと読んで… 「lが出てくる回数が[k/l]回」なら何でそのままlを[k/l]回足してあげないの？ その本に書いてある σ の定義はちゃんと不足数を定義するための σ と同じ定義って確かめた？ 274 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 00:29:31.27 ID:+G4gJJ/m.net] ごめんわからない 275 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 00:30:38.50 ID:+G4gJJ/m.net] >>271 のどの等号が間違ってる？ 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 00:45:13.99 ID:OomlBQs+.net] σ(k) は k の正の約数の総和であるから σ(k) = Σ_(l|k) l これを k=1 から n まで足し合わせれば Σ_(k=1,n) σ(k) = Σ_(k=1,n) ∑_(l|k) l だから >>271 の書き方に合わせると２行目は Σ[k]Σ[l]lμ(k,l) にならなければならないところ これでいい？ 277 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 00:57:16.16 ID:+G4gJJ/m.net] n=10でやってみたけどどうみても合ってるとしか思えないんだけど 　１◉◯◯◯◯◯◯◯◯◯ 　２◉◉◯◯◯◯◯◯◯◯ 　3◉◯◉◯◯◯◯◯◯◯ 　4◉◉◯◉◯◯◯◯◯◯ 　５◉◯◯◯◉◯◯◯◯◯ 　６◉◉◉◯◉◯◯◯◯◯ 　７◉◯◯◯◯◉◯◯◯◯ 　８◉◉◯◉◯◯◯◉◯◯ 　9◉◯◉◯◯◯◯◯◉◯ １０◉◉◯◯◉◯◯◯◯◉ ⌊10/1⌋+⌊10/2⌋+⌊10/3⌋+⌊10/4⌋+⌊10/5⌋+ ⌊10/6⌋+⌊10/7⌋+⌊10/8⌋+⌊10/9⌋+⌊10/10⌋ = 10+5+3+2+2+1+1+1+1+1 = 1+2+2+3+2+4+2+4+3+4 = σ(1)+σ(2)+σ(3)+σ(4)+σ(5)+ σ(6)+σ(7)+σ(8)+σ(9)+σ(10) 偶然の一致ですか？ 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 01:01:20.29 ID:OomlBQs+.net] >>277 そりゃあなた正の約数の「総和」じゃなくて「個数」を数えてるよ…………………… 279 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 01:04:49.62 ID:+G4gJJ/m.net] そうだわかったすいません 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 11:16:32.64 ID:p7RlmOuj.net] こういう chatgpt みたいな間違い方って、人間もよくやるんだよな。 一度そうだと思い込んじゃうと、なかなか抜け出せないよな。 281 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 18:44:09.57 ID:VRjxjwZE.net] 面白い数学の問題 問題： 5つの数字を使って、足しても掛けても10になる式を作れるか？ ヒント： 5つの数字はすべて異なるものとする。 同じ数字を2回以上使うことはできない。 四則演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）を自由に使うことができる。 解答例： 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 / 3 = 5 5 * 2 = 10 解説： この問題は、一見難しそうに見えますが、いくつかのヒントを参考にすれば、意外と簡単に解くことができます。 まず、5つの数字を使って足しても掛けても10になる式を作るためには、5つの数字の合計が10の倍数である必要があります。 そこで、5つの数字の合計が10になるような数字の組み合わせを探してみましょう。 例えば、1、2、3、4、5という数字の組み合わせであれば、 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 となり、15は10の倍数なので、この組み合わせは条件を満たしています。 次に、15を5つの数字を使って掛けても10になる式を作ってみましょう。 例えば、 15 / 3 = 5 5 * 2 = 10 となり、この式は条件を満たしています。 このように、いくつかのヒントを参考にすれば、5つの数字を使って足しても掛けても10になる式を作ることができます。 その他： この問題には、他にも様々な解答例があります。 例えば、 1 + 2 + 3 + (4 * 5) = 23 23 / (2 + 3) = 10 という式も条件を満たしています。 ぜひ、あなただけの解答例を見つけてみてください。 282 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 18:45:08.09 ID:VRjxjwZE.net] 怖すぎ 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 21:17:04.44 ID:GuvX03Td.net] x,y,z自然数として、全て共通の素因数を持たない場合にP(x,y,z)=1 共通の素因数を持つ場合にP(x,y,z)=0とした場合に lim[x,y,z→∞]P(x,y,z)/(xyz) の値は？ 284 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/23(金) 21:22:26.50 ID:VRjxjwZE.net] >>283 0 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 21:24:47.43 ID:GuvX03Td.net] >>283 訂正 lim[n→∞]Σ[i=1,n]Σ[j=1,n]Σ[k=1,n]P(i,j,k)/(n^3) 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 21:33:25.97 ID:ifHemxv0.net] 1/ζ(3) 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 22:19:24.18 ID:GuvX03Td.net] f(x+y)=f(x)+f(y)を解け、但しf(x)は可測関数。 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/23(金) 23:55:58.98 ID:ifHemxv0.net] 解は非可算無限存在 289 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/24(土) 14:52:18.14 ID:REyKwiOT.net] >>288 可測で 290 名前：イナ mailto:sage [2024/02/25(日) 03:41:29.66 ID:FuEkhIvX.net] 前>>116 >>281 少なくともラスト2行は違う。 1 + 2 + 3 + (4 * 5) =6+20=26≠23 23 / (2 + 3) =23/5=4.6≠10 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 11:12:24.78 ID:OajDgi/f.net] 補題　(X,μ) が位相空間 X とその上の全測度が有限の Borel 測度の組とし、f を有界可測関数とする。このとき 任意の ε>0 に対して可算開被覆 X = ∪nUn と実数列 rn が存在して g(x) = min { rn ; x∈Un } が f(x) ≧ g(x), ∫f(x)dx ≦ ∫g(x)dx + ε を満たす。 (∵) グラフ集合 G = { (x,f(x)) } が Caratheodory 可測だから開被覆 Un と区間の列 (rn,sn) が存在して g(x) = min { rn ; x∈Un } が f(x) ≧ g(x), ∫f(x)dx ≦ ∫g(x)dx + ε 1) G ⊂ ∪nUn×(rn,sn) 2) 買ﾊ(Un)×(rn,sn) < ε を満たすものがとれる。この (Un,rn) が条件を満たす。□ 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 11:13:23.89 ID:OajDgi/f.net] 定理　ℝ→ℝが有界可測でdense集合 D 上 0 であるなら恒等的に 0 である。 (∵) I =(a,b) 上に制限して任意の m∈ℕ に対して (Umn,rmn) を gm(x) = min { rmn ; x∈Umn } が f(x) ≧ gm(x), ∫f(x)dx ≦ ∫gm(x)dx + ε を満たすようにとれる。このとき lim gm(x) は (a,b) において f(x) に一次平均収束する。よって必要なら部分列をとって f(x) にほとんどいたるところで各点収束するとしてよい。よって‖gm - f ‖∞ < 1/m としてよい。rmn = g(x) である x が存在しないなら (Umn,rmn) を族の中から除いてもよいからすべての n で rmn = g(x) である x がとれるとしてよい。よってこのときすべての n で -1/m < rmn ≦ 0 が成立するから主張が成立する。□ 定理 f:ℝ→ℝが可測である加法群の準同型写像なら一次関数である。 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 11:13:44.30 ID:OajDgi/f.net] (∵) f(x) を f(x) - f(1)x にとりかえて f(1) = 0 としてよい。このとき任意の有理数 r に対して f(r) = 0 である。π:ℝ→ℝ/ℤを自然な射影とすればこれは加法群の準同型でℝ/ℤをℂの単数群と同一視して ℝ×ℝの単位円に連続に埋め込める。pi :ℝ×ℝ→ℝ(i:1,2) を自然な射影として qi = piπf は有界、可測、ℚ上定数だから補題により定数である。□ 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 12:16:14.94 ID:LA3EGYsY.net] a_1=1、a_(n+1)=a_n+[√(a_n)]とする。(実数A を超えない最大の整数を[A]と書く)。 任意の素数pに対し、{a_n} 内にpの倍数の項が無数にあることを示して下さい。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 14:51:57.57 ID:hMO4RL7i.net] >>292 ＞定理　ℝ→ℝが有界可測でdense集合 D 上 0 であるなら恒等的に 0 である。 f(x) ＝ sin x (xは無理数), 0 (xは有理数) という関数は有界可測で Q 上 0 だが、 f は恒等的に0ではないし、恒等的に定数でもない。 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 14:58:00.48 ID:OajDgi/f.net] 可測関数の定義は 「{(x,y)| y≦f(x)}がX×Yの可測集合」 じゃないの？ その関数で成立してる？ 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 14:59:43.72 ID:OajDgi/f.net] あれ？成立してる？ 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 15:03:02.15 ID:OajDgi/f.net] あれ？わからん>>292どこおかしい？ 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 15:11:18.98 ID:OajDgi/f.net] ああ、わかった。 >>292は撤回 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 15:14:17.70 ID:OajDgi/f.net] >>287 ヒントおながいします 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 15:18:23.92 ID:OajDgi/f.net] まてまてなんか降りてきた もちょっとまって 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 15:26:36.81 ID:OajDgi/f.net] やっぱりヒントおながいしますorz 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 15:36:51.46 ID:LA3EGYsY.net] >>302 シュタインハウスの定理 測度正の可測集合A、Bに対しA+B はある閉区間を含む。 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 16:09:46.29 ID:OajDgi/f.net] もしかしてこれだけ？ f(ℚ) = 0 としてよい。以下 f を [0,1) に制限したものを g とする。 g(c)>0 が存在したと仮定するとき μ(g-1([a,b))) > 0, 0<b-a<cを満たすcがとれて x∈g-1([a,b))→g(⌊c+x⌋) ∈ [a+c,b+c) となりm=μ(g-1([a+c,b+c))) > 0 となる。 同様にしてm=μ(g-1([a+nc,b+nc))) > 0 (∀n∈ℕ)だから μ(∪n∈ℕg-1([a+nc,b+nc))) = ∞ となり矛盾する。 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 16:12:10.00 ID:OajDgi/f.net] >>303 へぇ、そんな定理があるんや ちなみにg-1はg^(-1)ね 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 21:04:27.37 ID:LA3EGYsY.net] >>303 略証 A、Bコンパクトとする F(t)=∫χ_A(x)χ_(B+t)(x)dxは非負連続関数 ∫F(t)dt=|A||B|>0なので、F(t0)>0となるt0がある t0の近傍UがU⊂A+B 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 22:44:51.45 ID:OajDgi/f.net] >>294 ヒントおながいします。 階差数列 b_n = a_n+1-a_n はほとんど2個ずつ同じ値をとり, a_n = k^2 が平方数のときだけb_n = b_n+1 = b_n+2 = k となることは気づいたけど使います？ 308 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/25(日) 22:49:35.29 ID:Yd4yCHAl.net] >>306 >A、Bコンパクトとする なんで？ 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/25(日) 23:08:50.05 ID:LA3EGYsY.net] >>308 エゴロフの定理かルベーグ測度の内部正則性 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2024/02/25(日) 23:09:14.83 ID:OajDgi/f.net] 積分値有限にするためじゃない？ 311 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/26(月) 04:30:38.57 ID:xiMD/GL0.net] >>285 >>286 どうやって示すんだろう 312 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/26(月) 06:39:45.05 ID:K7po/SES.net] A=B=[0,1]∩(R\Q)？ 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/02/26(月) 07:21:17.87 ID:kT25gff2.net] f*g(t) = ∫f(x)g(t-x)dx が t について連続になることを示すのに手っ取り早いのはDCT使うことだからやろ。 f(x)g(t-x)が一様に可積分ならDCTがつかえる。 連続関数で一様近似しといてからDCTつかえばlim_b→a∫f(x)g(b-x)dx = ∫f(x)g(a-x)dx になる。 しかしf(x)=χ_A(x),g(x)=χ_B(x)においてA,Bが有界でなければf(x)g(t-x)は一様可積分とはかぎらないし畳み込みの連続性はそんなに明らかではない、というか成立しない。 314 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/26(月) 13:24:38.48 ID:tCDc9nKi.net] もしかして4冪しか平方数でない？ 315 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/26(月) 16:36:13.75 ID:tCDc9nKi.net] できた こんな数列よく見つけてくるなぁ 帰納的に次が示される (＊) 任意の k で 4ᵏ = aₙ となる n がとれる この n と 1≦l≦2ᵏ について aₙ₊₂ₗ = (2ᵏ+l-1)² + 2×2ᵏ aₙ₊₂ₗ₊₁ = (2ᵏ+l)² + 2ᵏ - l が成立する 特に 4a_(n+2l+1) = 4(2ᵏ+l)^2 + 4×2ᵏ - 4l = (2×2ᵏ + 2l-1)^2 + 2ᵏ⁻³ - 1 だから任意の奇素数pに対して 2ᵏ⁻³ - 1≡０ ( mod p ) 2×2ᵏ + 2l-1 ≡ 0 ( mod p ) 1≦l≦2ᵏ を満たす無限個の k,l がとれるから aₙ ≡ 0 ( mod p ) がとれる p=2 の場合は(＊)から直接示される 316 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/27(火) 03:31:38.77 ID:05bKNzxL.net] Memo. y = x ±√x 　　　(x≧0) 　は45°傾いた放物線 　軸　　　y = x - 1/4, 　焦点F　(1/8, -1/8) 　準線　　x + y= -1/4. 　接線　　y軸、y=-1/4 など 317 名前：１３２人目の素数さん [2024/02/28(水) 19:26:01.73 ID:9tUy1VVA.net] 保守上げついでに >>294ってpが素数は必要ない？ 318 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/01(金) 22:56:01.33 ID:C0z/65RY.net] 〔問題〕 a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。 　M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。 ・高校数学の質問スレ_Part432 - 883 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/02(土) 00:15:40.39 ID:Ye9Qo+Eh.net] a=n+1, b=2n+1, c=3n M=(1+3^n)^3 320 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/05(火) 07:13:58.56 ID:+SlieEnD.net] n次正方行列Aの各成分がAij=gcd(i,j)のとき det A=φ(1)φ(2)…φ(n)となることを示せ ただしgcd(i,j)はiとjの最大公約数 φ(k)は1〜kのうちkと素な数の個数である 321 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/05(火) 22:50:06.56 ID:2zpuCM64.net] 以下μはメビウス関数とする d|n を真の約数とする 素数 p とp進付値 v でv(d) < v(n) ととる n の約数の集合A,Bを A = { x | v(x) = v(n) } B = { x | v(x) = v(n) - 1 } とする x がA∪B に入らなければμ(n/x) = 0である よって Σ[x|n] μ(n/x)(d,x) = Σ[x∈B] μ(n/x)(d,x) + Σ[x∈B] μ(n/(px))(d,px) = Σ[x∈B] μ(n/x)(d,x) + Σ[x∈B] μ(n/(px))(d,x) = 0 また Σ[x|n] μ(n/x)(n,x) = Σ[x|n] μ(n/x)x = φ(n) である よってnの真の約数dに対して第一項目d列をμ(n/d)倍して第n列に足し合わせると第 n 列は第　n 行目がφ(n)となりその他は0となる 322 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/05(火) 23:55:49.26 ID:+SlieEnD.net] >>321 正解！ 323 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/06(水) 00:53:47.44 ID:Q8u6+Lag.net] 高校数学の質問スレ_Part433 - 13 から https://i.imgur.com/o1Q0t9c.jpg 324 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/06(水) 01:44:19.77 ID:cznwBW8K.net] 問　右図の五角形ABCDEは、 　　　BC = CD = DE = 2EF, 　　　AB = AE, 　　　∠A + ∠C = 180° 　　　∠D = 2∠A, 　　が成り立っているものとする。 　　頂点Cから辺AEに引いた垂線の足を点Fとした。 　　この時　∠A = ∠E となることを証明しなさい。 325 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/06(水) 02:02:02.47 ID:cznwBW8K.net] 　CD = DE = 2EF = 2e, とおくと 　CD・cos(2A-(180-E)) + DE・cosE = EF, 　−2e・cos(2A+E) + 2e・cosE = e, 2e で割ると 　- cos(2A+E) + cosE = 1/2, 結論 ( ∠A=∠E ) が正しいとき 　- cos(3E) + cosE = 1/2, 　−(cosE)^3 + cosE = 1/8,　　　(←3倍角公式) 　cosE = 0.127050844182526 　∠A = ∠E,　　　　　　(← 結論) 　∠B = 360° - 2∠A - ∠E, 　∠C = 180° - ∠A, 　∠D = 2∠A, 　∠E = 1.4434011683(rad) = 82.700795087° a := AF とおくと AB = AE = a + e, a/e = −cos(3E)/{cosE･(1-cosE)} - 1 　　= 4cosE + 3 - 1/(1-cosE) 　　= 2.36266128721 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/06(水) 14:05:33.11 ID:uEWik0i/.net] 11√2と√211+1 は、 どちらが大きいか小数点を 使わずに比較せよ 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/06(水) 14:45:06.09 ID:3cwmwHj0.net] (11√2)^2=242 (√211+1)^2=212+2√211 212+28<212+2√211<212+30 √211+1<11√2 328 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/06(水) 17:56:08.75 ID:u/EjkRjk.net] BC = CD = DE = としてよい ∠A = 2x, ∠BEC = y とおく △ABE が二等辺三角形だから ∠AEB = π/2 - x △DCE が二等辺三角形だから ∠DCE = ∠DEC = π/2 - 2x, CE = 2sin(2x) 条件より ∠BCE = π - ∠A - ∠DCE = π/2 さらにBC = 1, CE = 2sin(2x) ∴ tan(y) = 1/(2sin(2x)) ... ① 条件より△CEFは直角三角形でCE = 2sin(2x), EF = 1/2 だから cos(y+π/2-x) = 1/(4sin(2x)) ... ② 示すべき式は 0 = ∠A - ∠E = 5x - y - π 大先生に聞いたらz=0にはならんらしい tan(y) = 1/(2sin(2x)), cos(y+π/2-x) = 1/(4sin(2x)) = 1/(4sin(2x)) , z = 5x - y - pi https://ja.wolframalpha.com/input?i=tan%28y%29+%3D+1%2F%282sin%282x%29%29%2C+cos%28y%2B%CF%80%2F2-x%29+%3D+1%2F%284sin%282x%29%29+%3D+1%2F%284sin%282x%29%29+%2C+z+%3D+5x+-+y+-+pi 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/07(木) 04:53:41.88 ID:JQSf7KON.net] >>328 0 < x < pi/4, 0 < y < pi/2 って追加すると解っぽいのが出てきたよ 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/07(木) 12:07:26.45 ID:fVGGvkzV.net] ポイ値はでるけどやっぱり厳密値ボタン押すと0ではないような 4sin(2x)sin(x)-2cos(x) = 1/cos(y),1/(2sin(2x)) = tan(y),z = 5x - y - pi,0<x<pi/4,0<y<pi/2,z https://ja.wolframalpha.com/input?i=4sin%282x%29sin%28x%29-2cos%28x%29+%3D+1%2Fcos%28y%29%2C1%2F%282sin%282x%29%29+%3D+tan%28y%29%2Cz+%3D+5x+-+y+-+pi%2C0%3Cx%3Cpi%2F4%2C0%3Cy%3Cpi%2F2%2Cz 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/07(木) 12:19:45.05 ID:fVGGvkzV.net] と思ったらy消去してx,zの連立方程式にしたらピッタリ０だそうな。 tan(5x - z) = 1/(2sin(2x)), cos(5x - z-π/2-x) = 1/(4sin(2x)),0<x<pi/2,pi<5x - z<3*pi/2,z https://ja.wolframalpha.com/input?i=tan%285x+-+z%29+%3D+1%2F%282sin%282x%29%29%2C+cos%285x+-+z-%CF%80%2F2-x%29+%3D+1%2F%284sin%282x%29%29%2C0%3Cx%3Cpi%2F2%2Cpi%3C5x+-+z%3C3*pi%2F2%2Cz 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/07(木) 18:03:18.11 ID:fVGGvkzV.net] tan(y) = 1/(2sin(2x))...�@ sin(x-y) = 1/(4sin(2x))...�A において 0<x<π/4 に対して�@をみたす0<y<π/2をy(x)とすればy(x)は単調減少である。 このときsin(x-y(x))は単調増加、1/(4sin(2x))は単調減少である。 よって 0<x<π/4, 0<y<π/2 での方程式の解は高々一つである。 方程式 sin(2x)sin(4x) = 1/4 のπ/5<x<π/4での解をとりy=5x-πとおく。 このとき�@�Aが成立する。 以上により0<x<π/4,0<y<π/2において�@�Aは唯一の解をもちそれは x = (π/2-x) + (π/2-2x) + y をみたす。 333 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/07(木) 21:38:03.24 ID:eytwBEFO.net] 　∠A = 2x, 　∠E = ∠AEB + ∠CED + ∠BEC 　　= (90°-x) + (90°-2x) + y 　　= 180° - 3x + y, これらが等しい、という結論が正しいなら、 　sinA・sin(2A) = 2cosA・(sinA)^2 　　= 2cosA - 2(cosA)^3 　　= (cosA)/2 - cos(3A)/2 　　= 1/4, 　cosA = 0.127050844182526 　A = 2x = 1.4434011683(rad) = 82.700795087° 　y = 5x - 180° 　　= 5A/2 - 180° 　　= 0.4669102671247(rad) = 26.75198771757° 334 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/08(金) 04:29:05.49 ID:RMJAn8Bk.net] ∠A = 2x, tan(y) = 1/(2sinA)　　　…… �@ より 　cos(2y) = [4(sinA)^2 -1] / {4(sinA)^2 +1} 　　　　　= [3 - 4(cosA)^2] / {5 - 4(cosA)^2}, 　sin(2y) = 4 sinA / {4(sinA)^2 +1} 　　　　　= 4 sinA / {5 - 4(cosA)^2}, 　　…… �@’ また 　sin(x-y) = １/(4sinA)　　　　…… �A より 　cos(A-2y) = 1 - 2(sin(x-y))^2 = 1 - 2/(4sinA)^2, 　cosA cos(2y) + sinA sin(2y) = 1 - 1/{8(sinA)^2}, �@’を入れて cosA で表わすと 　{cosA[3-4(cosA)^2] + 4[1-(cosA)^2]}/{5 - 4(cosA)^2} 　　　　　　　　　　= 1 - 1/{8[1-(cosA)^2]}, 整理して 　[1-(cosA)^2] {4 +3cosA - 4(cosA)^2 -4(cosA)^3} 　　　　　　　　　= {7/8 - (cosA)^2}{5 - 4(cosA)^2}, 整理して 　{4(cosA)^2 -3}{(cosA)^3 - cosA + 1/8} = 0, 　cosA = (√3)/2　は A=30°　で不適 　cosA = 0.1270508441825262 　A = 1.443011682858011(rad) = 82.700795 また 　(cosA)^3 - cosA + 1/8 = 0, より 　-cos(3A) + cosA = 1/2, これと 　-cos(2A+E) + cosE = 1/2,　　　(=EF) とから 　A = E. を得る。 335 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/08(金) 12:01:34.61 ID:RMJAn8Bk.net] ↑の補足… 　1/2 = −cos(3A) + cosA = 2sinA･sin(2A), と 　1/2 = EF = cos(2A +E-180°) + cosE 　　= −cos(2A+E) + cosE 　　= 2sinA･sin(A+E), から 　0 = 2sinA {sin(2A) - sin(A+E)} 　　= 4sinA ･cos((3A+E)/2)･sin((A-E)/2), 0 < A < 90° < (3A+E)/2 < 180° より 　　sinA > 0,　cos((3A+E)/2) < 0, ∴　sin((A-E)/2) = 0, ∴　A = E. 336 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/08(金) 20:19:45.12 ID:WLMkBreB.net] 五角形の問題があったので、それに関連するのを１つ 平面充填可能な五角形は15種類存在する （一種類の五角形で平面を充填するものとする。また五角形は凸五角形に限定する） 参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling https://note.com/onthehead/n/n85f867b17306 この平面充填可能な五角形の Type3~15 に属するものの中で、５つの辺が等しい五角形をすべて答えなさい （どの Type に属するかと、各々の内角の大きさも記入すること） 337 名前：イナ mailto:sage [2024/03/09(土) 08:47:25.12 ID:gsWsh5pi.net] 前>>290 >>336 正五角形ABCDEの頂点を半時計回りとかアルファベット順にし、 上に頂点A、下に底辺CDが来るように正対させた正五角形を、 辺の長さを変えることなく上下に引っ張ると、 ∠A=80°,∠B=∠E=130°,∠C=∠D=100°のように、 金太郎や子泣き爺の前掛けの形にできる。 左右に引っ張ると∠A=160°,∠B=∠E=80°,∠C=∠D=110°のように、 横長の形にもできる。 この2種類の境界は正五角形であり、 これらは辺の長さが等しいので、 15種類のどのtypeにも属していない。 題意を満たす五角形は少なくとも2種類ある。 ほかにないか考えると、 ∠=60°,∠B=∠E=150°,∠C=∠D=90°がある。 ∴少なくとも3種類ある。 338 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/09(土) 18:06:40.67 ID:mzem7n+L.net] 336の問題 題意を満たす五角形を探す範囲を Type4,5,6,7,8,9 に絞り込むことができそう Type4 に１つ存在 ・厳密な角 [rad] 　　θ=arccos(1/2√2）として 　　∠B=∠D=π/2 　　∠A=∠E=π/4+θ 　　∠C=3π/2-2θ 　　※ 対角線 AC, CE を引くことで cosθ(θ=∠CAE)がわかる ・近似角 [deg] 　　∠B=∠D=90° 　　∠A=∠E≒114.29519° 　　∠C≒131.40962° Type5 で試してみると AB=BC=CDのとき、∠C=60°, ∠E=120°, ∠B=180°となって五角形でなくなるので Type5 の中には存在しないと思われる とりあえずここまで 339 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/09(土) 21:38:38.42 ID:9TLceQPN.net] >>334 ? ? から 　(cosA)^3 - cosA + 1/8 = 0, 　cosA (sinA)^2 = 1/8,　　　　…… (*) ここで 　cos(2A) = (1-4cosθ) /3, とおくと 　(cosA)^2 = 2(1-cosθ) /3, 　(sinA)^2 = (1+2cosθ) /3, これを (*)^2 に入れると 　(1/8)^2 = (cosA)^2 (sinA)^4 　　　= (2/27)(1-cosθ)(1+2cosθ)^2 　　　= (2/27){1 +3cosθ -4(cosθ)^3} 　　　= (2/27){1 - cos(3θ)}, ∴　cos(3θ) = 1 - 27/128 = 101/128, 　　θ = (1/3) arccos(101/128) = 0.22050497462 　　cosθ = 0.9757871245 　　cos(2A) = (1-4cosθ) /3 =−0.9677161660 　　2A = 2.88680233653 　　 A = 1.44340116826　 340 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/09(土) 22:41:07.69 ID:DXrQE0Gq.net] 5角形による 平面充填で有名なラインハルトは ビーベルバッハの弟子 341 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/09(土) 22:41:40.60 ID:DXrQE0Gq.net] BieberbachはKleinの弟子 342 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/09(土) 23:23:45.69 ID:9TLceQPN.net] >>339 　cos A = (2/√3) sin(θ/2) 　　　 = (2/√3) sin{(1/6)arccos(101/128)} 343 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/10(日) 18:17:30.06 ID:+u6WjacF.net] >>338の続き 追記 Type7,8 に５辺の等しい五角形がありそうなことはわかるが 厳密角の求め方がよくわからない 近似角だが試行錯誤して出してみた Type7 　　∠A≒99.9288° ,　∠B≒89.2641° ,　∠C≒144,5608° 　　∠D≒70.8783° ,　∠E≒135.3680° Type8 　　∠A≒81.2926° ,　∠B=∠E≒130.6463° ,　∠C=∠D≒98.7074° Type9 については多分存在しないと思われる １辺が他の４辺より短くなる場合がほとんどだったから Type6 についてはよくわからない 344 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/10(日) 18:38:21.30 ID:7717P9hP.net] >>325 　cos A = (2/√3) sin(θ/2), 　cos B = cos(2A+E) = cosE - 1/2, 　cos C = cos(180°-A) = - cosA, 　cos D = 2(cosA)^2 - 1 = (1-4cosθ)/3, 　cos(3θ) = 101/128, より 　A = 82.700795087° 　B = 360° - (2A+E) = 111.8976147° 　C = 180° - A = 97.299204913° 　D = 2A = 165.401590174° 　E = 82.700795087° 　θ = 12.634004407084° 　cosθ = 0.97578712448876 >>332-334 　x = A/2 = 41.35039754351° 　2tan(y) = 4sin(x-y) = 1/sinA 　　= 1.008170002261627326 　cos(2y) = (1-2cosD)/(3-2cosD) 　　= (1+8cosθ)/(7+8cosθ) 　　= 0.5947670101675411 これらより 　x - y = 14.5984098259426° 　y = 26.751987717571726° 345 名前：イナ mailto:sage [2024/03/11(月) 19:57:19.13 ID:TQAFSDNt.net] 前>>337訂正。 >>336 先に挙げた3種類のうち最初の2種類は、 内角の和が540°の五角形の、5辺の長さを等しくし、 一点に寄せた三つか四つの角の和を360°にすることができない。 ∠A=60°,∠B=∠E=150°,∠C=∠D=90°は可能。 Type1には属する。 強いてType3〜15から選ぶとなるとType4 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/11(月) 22:08:02.99 ID:qwgDzMHQ.net] そろそろ >>207 のヒント 「n≧N ならば n以下の自然数のうち不足数でないものの割合が半分未満である」ということが ある現実的な大きさの自然数 N について成り立つことを示せば良い。 そこで、関数μを μ(k) = 1 (kが不足数の時), 2 (それ以外) と定めて、ある具体的なNについて n > N ならば Σ_(k=1,n) μ(k) < 3n/2 を示すことを目標とする。 ここで μ(k) ≦ σ(k)/k （ただしσ(k)はkの約数の総和）による評価を思いつくが、試しにこれで評価しても Σ_(k=1,n) σ(k)/k ≦ (π^2/6)n までしか出ず目標の係数 3/2 には一歩届かない。 どう工夫する？という所で一旦この辺まで 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/11(月) 23:45:05.48 ID:DppgrVYd.net] もうΣσ(n)の漸近評価の出し方調べてしまったからどうでもいい 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/12(火) 00:23:13.82 ID:1nfzI29M.net] えっ逆にσそのものの和で不足数の個数を評価できるのか その解法は逆に気になる 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/12(火) 07:19:56.67 ID:LztyJwcz.net] 閏年によるズレ 5時間48分46秒=20926秒 1日=86400秒 20926/86400≒0.2421991 400年に97回の閏年で 97/400=0.2425で近似している 33年に8回の閏年で 8/33≒0.242424… n年にm回の閏年で97/400よりも よりよい近似を出したい ■お題 『nを1000以下として最近似する m,nの値を求めよ』 ◆1000年に242回の閏年で 242/1000=121/500=0.242000… 122/504=61/252≒0.2420634… ここから一気に、 8倍のオーダーを採る (61x8)/(252x8)=488/2016 489/2019=163/673≒0.24219910847 ◆デフォルト値 20926/86400=0.2421991 ∴m=163， n=673 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/12(火) 07:21:37.56 ID:LztyJwcz.net] 489/2019=163/673≒0.24219910847 0.2421991084695393759 286775631500742942050 520059435364041604754829... (循環節の長さ 224) ◆デフォルト値 20926/86400≒0.24219907407 0.242199074074074074074... (074 循環節3) 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/12(火) 07:26:22.91 ID:LztyJwcz.net] 日本人が明治6年から使用している グレゴリオ暦―いわゆる西暦―は、 400年間に閏年を97回置く暦です この暦の1年の平均日数は、 365＋97/400 = 365.24250日です 実際の平均太陽年は、 約365.24219日です 両者の差は、0.00031日になります この差は累積し、 1000年たつと約0.31日ずれます この暦の適正使用期間は 約3225年となります グレゴリオ暦が制定されたのは 1582年ですから、 4807年頃には誤差が1日になります 2013年の平均太陽年（年央値）は 「365日5時間48分45.179秒」です 単位を「日」にして表すと、 365＋5/24＋48/1440＋ 45179/86400000 ＝365＋20925179/86400000 ＝365.242189571… 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/12(火) 14:13:14.89 ID:GAlF47FX.net] 元々は集合 S(x) = { n | σ(n) > xn } が密度を持つというのがDavenportの定理でx=2の場合の密度をFavenport Constantと呼ぶ 大体0.25くらいのハズ 問題は ①そもそも密度が存在する証明は ②nが大きいときはいいとしてnが小さいときはどうするか 存在証明は(σ(n)/n)ᵏが任意の自然数kで収束する事を利用してKolmogorovの不等式と同様にして十分大きなxをとって limsup ♯{n | σ(n) > xn }/n < ε となるようにしておく 次に多項式P(t)を P(t) ≒ 1 ( t∈[0,2] ), 0 ( t∈(2,x] ) と選べば S(x) ≒ { P(σ(n)/n) = 1 } となって S(2) が密度を持つ事がわかる ②の誤差評価も古くからのテーマで要するにO(n)とか横着してるところをちゃんと定数コツコツ計算していけば今回のようなテーマだといけるそうな 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/13(水) 11:13:42.76 ID:anlLoHZG.net] なるほど　じゃあまあ残りの概要も投げていいか >>346 の続き rは6と互いに素な整数を値にとる変数とする。 g(k) := σ(k)/k - μ(k) とおいて任意の自然数kについて g(k)+g(2k)≧1/3, g(k)+g(2k)+g(3k)≧3/4 g(k)+g(2k)+g(3k)+g(4k)≧11/8 g(k)+g(2k)+g(3k)+g(4k)+g(6k)≧19/8 が示せるから、nが36の倍数の時 Σ_(k=1,n) μ(k) = Σ_(k=1,n) σ(k)/k - g(k) < (π^2/6)n - Σ_(1≦r≦n) Σ_(1≦s≦n/r, sは2と3以外の素因数を持たない) g(rs) ≦ (π^2/6)n - Σ_(1≦r≦n/6)19/8 - Σ-(n/6<r≦n/4)11/8 - Σ_(n/4<r≦n/3)3/4 - Σ_(n/3<r≦n/2)1/3 = (π^2/6)n - n/18×19/8 - n/36×11/8 - n/36×3/4 - n/18×1/3 = (π^2/6 - 181/864)n. これよりnが36の倍数の時はn以下の自然数についてのμの値の和は (π^2/6 - 181/864)n 以下となる。 したがって、より一般に n≧1296 の時、n=36m+l (l<36)と表すと Σ_(k=1,n) μ(k) < (π^2/6 - 181/864)(36m) + 2l < (13/9)n + 72 ≦ 3n/2 が成り立つので、1296以上の整数は２つの不足数の和で表せる。 1296以下も表せることについては、945未満の全ての奇数および2と802が全て不足数であることから従う。 354 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/13(水) 11:57:34.65 ID:Q8SeA2OE.net] 初等的ではあるけどさすがにこれは難すぎw g(k)+g(2k)+g(3k)+g(4k)≧11/8 とかの計算も分からん 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/13(水) 12:36:34.14 ID:CDW44Gfn.net] g(k)の和の下からの評価のくだりは全部kをrに置き換えないとダメだったわ （証明の正しさに影響は無いから大きな問題ではないけど） 例えば g(r)+g(2r)+g(3r)+g(4r)≧11/8 の証明は、x:=σ(r)/r とおいて (i) 1 ≦ x < 8/7 の時 g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-1, g(3r)=(4/3)x-1, g(4r)=(7/4)x-1 であるからx=1で最小値 19/12. (ii) 8/7 ≦ x < 4/3 の時 g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-1, g(3r)=(4/3)x-1, g(4r)=(7/4)x-2 であるからx=8/7で最小値 29/21. (iii) 4/3 ≦ x < 3/2 の時 g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-2, g(3r)=(4/3)x-1, g(4r)=(7/4)x-2 であるからx=4/3で最小値 13/9. (iv) 3/2 ≦ x < 2 の時 g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-2, g(3r)=(4/3)x-2, g(4r)=(7/4)x-2 であるからx=3/2で最小値 11/8. (v) 2 ≦ x の時 g(r)=x-2, g(2r)=(3/2)x-2, g(3r)=(4/3)x-2, g(4r)=(7/4)x-2 であるからx=2で最小値 19/6. (i)から(v)の最小値のうち最小のものは11/8であるから求める最小値は11/8、みたいに求められる。 (i)から(v)に場合分けした各区間でgの和が最小値をとるのは区間の下限って決まりきってるから、 計算自体はそれほど大変ではない。が、面倒ではあると思う 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/13(水) 19:07:39.06 ID:QvKd0Vmr.net] 係数が全て非負整数であるような、xのn次関数f(x)がある あなたは具体的なnの値や係数は知らされていない 整数mを入力するとf(m)の値が出力される装置があるとき、あなたがf(x)を当てるには最低何回の入力が必要か。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/13(水) 21:00:00.75 ID:YEPBXZu/.net] f(1)=0. 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/13(水) 21:34:23.80 ID:B4HVTwxF.net] >>356 2回。 最初にf(1)を計算し、f(1) より大きな10^kに対して f(10^k) を計算すれば良い。 別に10進でなくてもいいけど。 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/15(金) 01:02:20.92 ID:TM45r1NS.net] ならf(x)≡0 360 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/15(金) 21:10:34.31 ID:mHnWG9lh.net] >>343の続き ５辺の等しい Type8 の五角形について角度の計算が可能なことが判明 CD の中点を F とすると ∠BAF=∠EAF=∠BDC=∠ECD となる これをθとおく また Type8 の条件より ∠ABD=∠AEC=90°となることから θ=arccos(√((1+√13)/8))　[≒40.646319372°] が導出される それぞれの角は以下のとおり 　　∠A=2θ 　　∠C=∠D=180°-∠A 　　∠B=∠E=90°+θ 361 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/15(金) 23:09:14.59 ID:mHnWG9lh.net] 336の問題の解答に該当しないが ５辺の等しい Type1 の五角形については 以下の条件を満たせばそれに該当する（複数個存在） 　　∠A=60° ,　∠B=θ+60° ,　∠C=180°-θ 　　∠D=θ ,　∠E=240°-θ 簡単に言えば、辺の長さが共に等しい正三角形と菱形（あるいは正方形）をくっつけてできた五角形である θの範囲は、60°＜θ≦90°となる 362 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/16(土) 00:41:24.99 ID:pFxCz5M9.net] クイズです！ 大学生レベルの問題です 123 456 789 ↑に棒線を2本加えて0にしてください 制限時間は1分 363 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/16(土) 01:07:55.87 ID:35/vWklb.net] 約束してください。絶対に先を読まず、１行ずつ進む事。 たった３分ですから、ためす価値ありです。 まず、ペンと、紙をご用意下さい。 先を読むと、願い事が叶わなくなります。 ?まず、１番から、１１番まで、縦に数字を書いてください。 ?１番と２番の横に好きな３〜７の数字をそれぞれお書き下さい。 ?３番と７番の横に知っている人の名前をお書き下さい。（必ず、興味の ある性別名前を書く事。男なら女の人、女なら男の人、ゲイなら同姓の名 前をかく） 必ず、１行ずつ進んでください。先を読むと、なにもかもなくなります。 ?４，５，６番の横それぞれに、自分の知っている人の名前をお書き下さ い。これは、家族の人でも知り合いや、友人、誰でも結構です。 まだ、先を見てはいけませんよ！！ ?８、９、１０、１１番の横に、歌のタイトルをお書き下さい。 ?最後にお願い事をして下さい。さて、ゲームの解説です。 １）このゲームの事を、２番に書いた数字の人に伝えて下さい。 ２）３番に書いた人は貴方の愛する人です。 ３）７番に書いた人は、好きだけれど叶わぬ恋の相手です。 ４）４番に書いた人は、貴方がとても大切に思う人です。 ５）５番に書いた人は、貴方の事をとても良く理解してくれる相手です。 ６）６番に書いた人は、貴方に幸運をもたらしてくれる人です。 ７）８番に書いた歌は、３番に書いた人を表す歌。 ８）９番に書いた歌は、７番に書いた人を表す歌。 ９）１０番に書いた歌は、貴方の心の中を表す歌。 １０）そして、１１番に書いた歌は、貴方の人生を表す歌です。この書き 込みを読んでから、１時間以内に１０個の掲示板にこの書き込みをコピー して貼って下さい。そうすれば、あなたの願い事は叶うでしょう。もし、 貼らなければ、願い事を逆のことが起こるでしょう。とても奇妙ですが当 たってませんか？ 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/24(日) 07:30:29.01 ID:sOpdfYK1.net] 多項式 　f(x) = a0 + a_1x + a_2^2+..+a_dx^d に対して 　l(f) = max |a_k|、d(f) = d とおく。 　f(x) = f_1(x)f_2(x)...f_n(x) のとき 　2^(-d(f)) l(f_1)...l(f_n) ≦ l(f) ≦ 2^(d(f)) l(f_1)...l(f_n) を示せ。 365 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/24(日) 12:44:50.58 ID:TXHKajT1.net] >>362 くだらん 366 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/24(日) 13:54:46.09 ID:JQZhW1Hp.net] 　123 −456 − 〃　 　789 →　合計 0 だよね。 367 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/25(月) 01:19:39.27 ID:+bd2s50Q.net] >>366 それだと棒線2本以外に〃も使ってるからだめ 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/25(月) 07:52:37.78 ID:TqXyAyTN.net] determinant 369 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/25(月) 22:49:20.38 ID:t3sAe982.net] −123 　456 ×2 −789 →　合計 0 だよね。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/25(月) 23:51:31.42 ID:+bd2s50Q.net] >>368が正解 371 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/26(火) 07:35:23.09 ID:6Gb4+y1g.net] >>370 くだらん 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/26(火) 11:04:43.65 ID:mBBZdflL.net] クイズです！ 大学生レベルの問題です 123 456 789 ↑に棒線を2本加えて0にしてください (1x5x9)+(2x6x7)+(3x4x8) -(3x5x7)-(2x4x9)-(1x6x8) 45+84+96-105-72-48 45+180-105-120 ∴225-225=0 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/26(火) 12:42:48.48 ID:B63mVzU/.net] |123| |456|にすればいいってこと |789| 374 名前：１３２人目の素数さん [2024/03/26(火) 15:55:03.55 ID:TEmWY8cO.net] >>373 百済 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/03/29(金) 13:39:07.36 ID:x3voWdtG.net] [x]はfloor(x)とする C[n,[n/2]]√(n+1) ≦ 2^n (∀n:自然数) を示せ 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/01(月) 17:04:59.43 ID:3dH+ZnCY.net] (2x)^2 (2x-1) - (2x-1)^2(2x+1) = 4x^2(2x-1)-(2x-1)(4x^2-1) = 2x-1 なので、x>1/2で 0<(2x-1)√(2x+1)≦(2x)√(2x-1)　　　・・・（１） が成立。 (1)において、x=1,2,...,m　とした式を全て掛け合わせると (2m-1)!! *　√(2m+1) ≦　(2m)!! 　　　・・・（２） 両辺に　 (2m)!! を掛けると (2m)! *　√(2m+1) ≦　((2m)!!)^2 = (2^m * m!)^2 C[2m,m] * √(2m+1) ≦ 2^(2m)　　　・・・（３） （２）より (2m-1)!! *　√(2m) ≦　(2m)!! 両辺に　 (2m-2)!! を掛けると (2m-1)! *　√(2m) ≦　(2m)!! (2m-2)!! =2^m * m! * 2^(m-1) * (m-1)! C[2m-1,m-1] *　√(2m) ≦ 2^(2m-1)　　　・・・（４） 問題の式においてn=2m、n=2m-1としたものが、（３）および（４） 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/01(月) 18:25:30.22 ID:AwTEs3LM.net] GJ!! 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/02(火) 06:59:32.15 ID:43bcYNrP.net] 複素数係数の多項式 f(x) に対して M(f) = 1/2π exp( ∫[0,2π] log| f(exp(it)) | dt とおく f(x) = (x-a_1)...(x-a_n) のとき M(f) = Σ max{ log| a_k |,0 } を示せ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/03(水) 17:40:12.89 ID:wBu6qcXb.net] (i) |a|<1 のとき (1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a|dt = (1/2π)∫[0,2π] log|1 - a exp(-it)|dt = (1/2π)∫[0,2π] log|1 - a exp(it)|dt (z=exp(it)と置く) = re{(1/2πi)∫[|z|=1] log(1 - az)dz/z} = re{Res[z=0] log(1 - az)/z} = re{log(1)} = 0 (ii) |a|>1 のとき (1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a|dt = (1/2π)∫[0,2π] {log|a| + log|(1/a)exp(it) - 1|}dt = log|a| + re{(1/2π)∫[0,2π] log(1 - (1/a)exp(it))dt} = log|a| (∵(i)と同様に積分は0) (iii) |a|=1 のとき (1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a)|dt = (1/2π)∫[0,2π] log|1 - exp(-it+i arg(a))|dt = (1/2π)∫[0,2π] log|1 - exp(-it)|dt = (1/2π)∫[0,2π] log(2sin(t/2))dt = 0 以上まとめると (1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a|dt = max(log|a|,0) 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/03(水) 19:02:43.39 ID:fjjNBmjw.net] 素晴らしい👍 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/03(水) 19:18:13.48 ID:fjjNBmjw.net] 複素数係数の多項式 f(x_1,...,x_n) に対して M(f) = (1/2π)^n exp( ∫[0,2π]^n log| f(exp(it_1),...,exp(it_n) | dt_1...dt_n L(f) = max{ | 係数 | } d_i(f) = max{ k | ∂^k/∂x_i^k f ≠ 0 } とおく L(f) ≦ M(f)C[d_1(f),[d_1(f)/2]]...C[d_n(f),[d_n(f)/2]] を示せ ただし[x]はfloor関数である 382 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/05(金) 18:33:40.25 ID:wgN05YfG.net] nを自然数とする (n-1)!をn+1で割った余りの最大値を求めよ 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/05(金) 22:42:51.38 ID:CjLldbW4.net] (i) n+1が素数のとき (n-1)! ≡ 1 ( mod n+1 ) (∵Wilson) (ii) n+1が合成数のとき n+1 = qm, qが素数べき, (q,m) = 1, pをqの素因子とすると m>1 or q>p 前者なら n-1 = qm-2 ≧ q ∴ q|(n-1)! 後者なら n-1 = q-2 > q/p > p ∴ q|(n-1)! 384 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/05(金) 23:11:25.16 ID:wgN05YfG.net] >>383 後者に見落としがあるね 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/05(金) 23:53:34.93 ID:CjLldbW4.net] じゃあ不正解でいいです 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/06(土) 00:10:53.06 ID:wwL9cQPS.net] n-2 > q/p > p or q = p^2 q = p^2, p>2 → q-2 > q-p > p q = 4 → (n-1)! = 2 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/06(土) 18:01:40.78 ID:B7IWglt2.net] x_1,x_2,…,x_nを実数とする Σ[i,j=1〜n]|x_i-x_j|≦Σ[i,j=1〜n]|x_i+x_j| を示せ 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/07(日) 11:32:00.30 ID:Sbq5+Z7q.net] 変数の範囲は[-1,1]に制限して良い f(x) = Σ[i,j=1〜n]|x_i-x_j| g(x) = Σ[i,j=1〜n]|x_i+x_j h(x) = g(x), k(x) = #{ i | |x_i|<1 } とする (x_i)を(h(x),k(x))に関する極小元とする このときm=max{|xi| ; |xi|<1}とすればm=0である そうでないとしてx(t)を xi(t) = t (if xi = m) = -t(if xi = -m) = xi (otherwise) とするとh(x(t))は十分小さいεで[m-ε,1]で連続な一次関数だから仮定に反する a=♯{xi=1},b=♯{xi=-1},c=♯{xi=0} とすれば f(x) = 2a^2+2b^2+c(a+b) g(x) = 4ab+c(a+b) 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 19:21:44.55 ID:3ggcr+eh.net] >>388 (h(x),k(x))に関する極小元てのは順序対の極小なのかな なぜh極小で示せばいいの？ (g-fではなく、しかもkに関する条件付きで) あとh(x(t))は|t-1|+|t+1|の0近傍のように局所的に1次でなく0次(定数)の可能性もあるから、後半の論法もダメなのでは？ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 23:46:02.94 ID:52uWL3yu.net] 辞書式順序の最小 0次式になるとh(x)の値をそのままにしてk(x)の値が真に小さくできる 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 23:59:20.07 ID:3ggcr+eh.net] kが真に小さく出来るのはなぜ？ それと再度聞くけど、なぜh(=g)を最小にした場合に示せば良いの？ fも連動しているから不等式を破るx_iはgを最小にするものとは限らないのでは？ 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 00:32:02.97 ID:CqnVU4YK.net] |xi|= mであるxiを微小にずらしてh(x)の値が変化しないならその近傍でtについて定数 どこまで定数かというと|xi±xj|の形の項は|2t|か|t-xi|のいずれかの形に置き換わるのでt∈(m-ε,1)で微分可能 特にt∈[m,1]で定数だからh(x(m)) = h(x(1)), k(x(m)) < k(x(1)) 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 00:36:14.56 ID:CqnVU4YK.net] h(x) = g(x) - f(x) 394 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/16(火) 17:42:31.41 ID:s76bQEPt.net] 任意の整数nに対し abc+abd+acd+bcd=1 を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が無限に存在することを示せ 395 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/16(火) 17:46:15.70 ID:dXN7qL0u.net] >>394 >=1 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/16(火) 17:49:51.63 ID:dy1+YXAv.net] https://i.ytimg.com/vi/gt5VVmztpak/hqdefault.jpg 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/16(火) 23:29:09.42 ID:+4sNyMxI.net] artinの定理 永田雅宜、可換体論5章、裳華房 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/16(火) 23:32:54.39 ID:+4sNyMxI.net] と思ったら多項式 反例ある 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 07:00:30.74 ID:84acKaEu.net] 実数係数、値域は非負 に限れば成立するんじゃないの 実際に解こうとすると 高次方程式を解くことになるから 原理的に無理、というだけ 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 07:49:40.71 ID:lwglMa0M.net] 反例あるというに https://homepages.warwick.ac.uk/~maskal/MA3J9/17th.pdf 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 08:12:07.64 ID:84acKaEu.net] それは2変数の例であって 1変数に限れば、片方は定数に吸収されて うまく行きそうに見える 別の識者と出題者にも訊いてみたい 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 08:40:01.07 ID:FnAnuYqp.net] x^4+2x^3+2x^2+2x+1 =(x+1)^2(x^2+1) =((x+1)(x+i))((x+1)(x-i)) =((x^2+x)+i(x+1))((x^2+x)-i(x+1)) =(x^2+x)^2+(x+1)^2. 403 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/17(水) 08:59:35.31 ID:/+kMqt7h.net] >>400 残念ね 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 09:22:43.46 ID:lwglMa0M.net] p(x,y) = Σ f(x,y)^2 である多項式f(x,y)は存在しないけど p(x,y) = Σ g(x,y,z)^2 である多項式g(x,y,z)は存在するかも.... へぇ.... 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 09:26:12.22 ID:lwglMa0M.net] ああ、すまん、変数減らすのね 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 09:33:51.04 ID:lwglMa0M.net] 1変数ならHilbertの定理やな In 1888, Hilbert showed that every non-negative homogeneous polynomial in n variables and degree 2d can be represented as sum of squares of other polynomials if and only if either (a) n = 2 or (b) 2d = 2 or (c) n = 3 and 2d = 4. 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 10:36:18.38 ID:aSdsQF24.net] >>394 これって結局正しい問題文は何？ abc+abd+acd+bcd=nなら(1,-1,k-n,-k)でいいよね 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 12:24:48.05 ID:hNB8LMCq.net] >>407 https://math.stackexchange.com/questions/872324/diophantine-equation-abc-abd-acd-bcd-1 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 14:29:55.62 ID:aSdsQF24.net] >>408 だからabc+abd+acd+bcd=1なら (a,b,c,d)=(1,-1,k-1,-k)で無限個の整数解じゃん 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 17:23:33.07 ID:hNB8LMCq.net] 背景が聞きたかったんじゃないのか 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 18:48:53.62 ID:H471p/C+.net] >>394 の「任意の整数nに対し」は何のためにあるの？その後一回も出てきてないよね 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/17(水) 18:58:35.79 ID:aSdsQF24.net] =1が=nの間違いなのかと思ったけどね 「0でない」も謎だしテキトーに出したんかな 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/19(金) 19:57:21.72 ID:SVQ+clD4.net] ab(c+d)+cd(a+b)=1 を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が 無限に存在することを示せ 414 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/19(金) 23:18:11.62 ID:0gWkPqXI.net] 　e_0 = n, 　e_1 = n+1, 　e_2 = n(n+1) + 1, 　e_3 = n(n+1){n(n+1)+1} + 1, とおくと 　1/e_0 − 1/e_1 − 1/e_2 − 1/e_3 = 1/(e_0･e_1･e_2･e_3), 数学セミナー, vol.50, no.3 (2011/Mar) 　NOTE　　p.67-68 415 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/20(土) 00:12:03.34 ID:qIDLaiOw.net] >>413 　a > 0, 　b =−a−1, 　c = ab−1, 　d =−abc +1, 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/20(土) 01:38:19.84 ID:2Qt1hX0b.net] これって自演？w 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/20(土) 06:34:03.66 ID:gciKSLUQ.net] 前のレスの問題をこう解釈したら自明でしょと返したやつにレスつけたんでしょ 418 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/21(日) 18:24:24.30 ID:34PQz0TW.net] >>414 　e_k = e_0･e_1 …… e_{k-1} + 1, とおくと 　1/e_0 − 1/e_1 − …… − 1/e_m = 1/(e_0･e_1……e_m), e_m のところだけ e_m−2 に変えれば 　1/e_0 − 1/e_1 − …… − 1/(e_m−2) =−1/(e_0･e_1……(e_m−2)), で符号反転できます。 これを使うんですね。 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/25(木) 14:37:50.14 ID:IIPJu16B.net] 別スレの問題の発展 n ≧ 2 とする。 平面上に平行線 l//m と l 上の２点 A,B が与えられている。 定規のみを用いて A,B の n-1個ある n 分点を作図する方法を与えてください。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/25(木) 21:51:48.26 ID:8ZtnUYo3.net] 定規って直線引くだけだっけ？定規に長さメモれるんだっけ？ 421 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/25(木) 22:37:58.53 ID:JTmgmSn6.net] >>420 許されるわけないだろ 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/26(金) 00:49:00.00 ID:Z49pjEP3.net] これでいいんかな 2点a,bの中点は以下のように作れる これは適当に外点pを1つとり半直線apとbpを描く それらと直線mとの交点をそれぞれa',b'とする 線分ab'とa'bの交点をqとすると半直線pqはab(そしてa'b')を2等分する この要領でまず直線m側に2^k(>n)等分点を適当に作る そこから適当にn分区間のn+1点を選び、その両端点をc,dとする acとbdの交点rとしrを残りの(n-1)個の内点と結べば それらの(n-1)本の半直線とlの交点はa,bをn等分する 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/26(金) 06:31:50.06 ID:4FSkTY1U.net] 素晴らしい👍 正解 424 名前：１３２人目の素数さん [2024/05/13(月) 11:40:54.62 ID:MCdwMjrh.net] (0,1)上の正値可測関数fに対して fかつexp(f)がルベーグ可積分のとき、f*exp(f)はルベーグ可積分か？ 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/05/13(月) 17:03:46.08 ID:Gm42kBSQ.net] f(x) = -1/2log(x) exp(f(x)) = x^(-1/2) f'(x)exp(f(x)) = (-1/2)x^(-3/2) 426 名前：１３２人目の素数さん [2024/05/13(月) 17:18:38.70 ID:TgSoniHb.net] >>425 f’exp(f)ではなくて fexp(f)ですね *は微分ではなく掛け算です 紛れてすみません 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/05/14(火) 09:13:07.23 ID:tQSh3F9o.net] a(x) ＝ e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} / C, C ＝ ∫[0,∞] e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} dx として a：[0,∞) → (0,∞) を定義する。 g(y)＝∫[0,y] a(x) dx (y≧0) とすれば、 g(0)＝0, g(∞)＝1 であり、g は狭義単調増加である。 g の逆関数を f とすれば、f：(0,1) → (0,∞) であり、 ∫[0,1]f(x)dx＜∞, ∫[0,1]e^{f(x)}dx＜∞, ∫[0,1]f(x)e^{f(x)}dx＝∞ となることが分かる。 428 名前：１３２人目の素数さん [2024/05/14(火) 13:45:52.41 ID:Mig0Ipj0.net] >>427 素晴らしい お見事です 429 名前：１３２人目の素数さん [2024/05/14(火) 15:00:03.51 ID:9S0/3Gdv.net] 〔問題142〕 A+B+C=π のとき 　sin(2A) + sin(2C) − 2 sin(2B) 　= 2 cos(A) cos(B) cos(C) {2 tan(B)−tan(A)−tan(C)}, を示せ。 高校数学の質問スレ_Part435 - 142 430 名前：１３２人目の素数さん [2024/05/14(火) 15:35:42.26 ID:9S0/3Gdv.net] 〔問題153〕 A+B+C=π のとき 　sin(2A) + 2C tan(A) − 2S = 0, 　ここに　C = cos(A)cos(B)cos(C),　S = sin(A)sin(B)sin(C), を示せ。 高校数学の質問スレ_Part435 - 153 431 名前：１３２人目の素数さん [2024/05/14(火) 15:37:22.58 ID:9S0/3Gdv.net] ↑かぶった。 　C ' = cos(A) cos(B) cos(C) です。 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/05/15(水) 09:07:32.43 ID:Un9oydXA.net] Cにπ-(A+B)を代入して計算するだけじゃん

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