スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3

1 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/13(土) 16:51:12.04 ID:d42KNd2H.net] 前スレが1000近くなったので、新スレを立てる 前スレ 箱入り無数目を語る部屋2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/ （参考） 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい. もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる. 今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう. どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる. 勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け. 勝つ戦略はあるでしょうか?」 https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice Probabilities in a riddle involving axiom of choice asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis （Denis質問） I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up. （Pruss氏） The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate. （Huynh氏） If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist. つづく 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net] 以下では、>>579の設定を厳密に書き下しておく。 ・ まず、R[x]^100 が確率空間になるような任意のσ集合体Fと、任意の確率測度Pを取る。 　 この時点で、確率空間(R[x]^100, F, P)が得られる。 ・ 出題者は s∈[0,1]^N を一様分布(>>396)に従ってランダムに選び、可算無限個の箱の中に詰める。 ・ 続いて、出題者は可算無限個の箱を100列に分解する。i 列目に入っている実数列を s^{i}∈ [0,1]^N としておく。 　 よって、s は100個の s^{1}, s^{2}, …. s^{100} ∈ [0,1]^N に分解される。 ・ 次に、出題者は確率空間(R[x]^100, F, P)においてランダムに(f_1(x),f_2(x),…,f_100(x)) ∈ R[x]^100 を選ぶ。 ・ 各 s^{i} は形式的ベキ級数と見なせるので、出題者は t^{i} ＝ s^{i}＋f_i(x) と置く。 ・ この t^{i} もまた形式的ベキ級数である。出題者は、t^{1},t^{2},…,t^{100} を回答者に手渡す。 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net] 次は回答者のターン。 ・ 回答者は、出題者から渡された t^{1},t^{2},…,t^{100} を用いて時枝戦術を実行する。 ・ 具体的には、回答者は番号1,2,…,100の中からランダムに番号 i を1つ選ぶ。 ・ 次に、回答者は100列に分解された可算無限個の箱のうち、i列目以外の全ての箱を開ける。 ・ j≠iとして、j列目の箱の中身は s^{j} である。回答者は t^{j} を所持しているので、 　 t^{j}−s^{j} を計算することで多項式 f_j(x) を復元できる。 ・ s^j の決定番号 d(s^j) について、d(s^j) ＝ deg f_j(x) ＋ 1 が成り立つので、 　 回答者は99個の決定番号 d(s^j) (j≠i) を得る。そこで、D ＝ max{d(s^j)｜j≠i} と置く。 ・ 回答者は t^{i} が欲しい。そこで、i 列目の箱のうち(D＋1)番目以降の箱を開けて、……とする必要はない。 　 なぜなら、回答者は既に t^{i} を所持しているからだ。特に、回答者は t^{i}_D の値を直ちに取得できる。 ・ そこで、回答者は「 i 列目のD番目の箱の中身は t^{i}_D である」と推測する。 ・ この推測がハズレになるのは、D ＜ d(s^i) が成り立つときのみで、 　 そのような i は1,2,…,100 の中に高々1個しかない。よって、回答者の勝率は 99/100 以上である。 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net] 今回の>>581-582の設定では、もはや選択公理が使われてないことに注意せよ。 出現する全ての事象は可測である。また、「非正則分布」とやらも使われていない。 ではスレ主に問題。>>581-582の設定のもとで、回答者の勝率はどうなっているか？ ・ 回答者の勝率は 99/100 以上である。 ・ 回答者の勝率は、この設定でもゼロである。 さあ、どちらだ？ 637 名前：１３２人目の素数さん [2022/10/07(金) 23:04:10.05 ID:JooN1fem.net] >>576 補足 (引用開始) ５）時枝の記事>>1は、ある大きな次数（自然数）mを取れば、 　m以上の項は、同値類でしっぽの共通部分に当たるから、 　代表のτ+fd(x)を見れば、問題のτ+f(x) の共通のしっぽの部分も推察がつくというものだ>>1 ６）時枝記事は、99個の列を作って、それらの決定番号の最大値 Dmax99 を得て 　それを上記mとして利用しようというもの 　それで、確率99/100を得るという 　（決定番号の説明は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402 ご参照） 　（確率99/100は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403 ご参照） ７）しかし、多項式環は、無限次元線形空間（>>189 都築 暢夫 広島大）であるから 　原理的に、有限の Dmax99 を与えても、確率99/100と出来ないことは自明だろう (引用終り) 理解できない人たちがいるみたいｗ １．いま、1000人の模擬試験をして、1000点満点で990点だった 　　平均点500点、標準偏差100点、ほぼ正規分布 　　このとき、990点は偏差値で99で、点数の勝負なら99％以上の確率で勝てる ２．しかし、同じ990点でも、10000点満点で、平均点5000点ならどうか？ 　　990点は平均値以下だから、点数勝負で99％の勝率は得られない ３．そして、時枝記事では、非正則分布で上限に制限なし！ 　　平均値も無限大に発散している 　　そのような場合には、Dmax99をいくら大きくとっても 　　勝率99/100と出来ないことは自明だろう (参考) https://mathwords.net/sigumakukan 具体例で学ぶ数学 1σ、2σ、3σの意味と正規分布の場合の確率 具体例で学ぶ数学 > 確率、データ処理 > 1σ、2σ、3σの意味と正規分布の場合の確率 最終更新日 2019/02/14 1σ 区間におさまる確率→ 約 68% 2σ 区間におさまる確率→ 約 95% 3σ 区間におさまる確率→ 約 99.7%

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