- 819 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/06(日) 19:16:58.69 ID:5beEPlYr.net]
- 0 < a とする。
有理数 x に対して、 a^x の定義やその基本的な性質については知っていると仮定する。
f : Q → R を f(x) = a^x で定義する。
(1) x, y を x < y であるような有理数とする。
1 < a ⇒ a^x < a^y
0 < a < 1 ⇒ a^y < a^x
がそれぞれ成り立つことを証明せよ。
(2) 任意の正の実数 ε に対して、 |a^x - 1| < ε が 0 に十分近いすべての有理数 x に対して成り立つことを証明せよ。
(3) 等式 a^x - a^y = a^y * (a^{x - y} - 1) を利用して、 I を任意の閉区間上とするとき、以下が成り立つことを証明せよ：
任意の正の実数を ε としたとき、 x, y ∈ I ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε を満たすような正の実数 δ が存在する。
(4) f に対して、 >>787 の f^{*} を考える。 f^{*} は 1 < a であるとき、単調増加関数であり、 0 < a < 1 であるとき、単調減少関数であることを証明せよ。さらに、 f^{*}(x + y) = f^{*}(x) * f^{*}(y) が成り立つことを証明せよ。
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