- 804 名前：１３２人目の素数さん [2022/10/31(月) 19:03:35.25 ID:UHpvprLi.net]
- (1) ∃N s.t. ∀n > Nに対してa_n<α+ε
(2) 無数の番号nに対してα-ε<a_n
(1),(2)が成り立てば、αは{a_n}の上極限であることを証明せよ。
以下の解答は間違っていませんか？
正のεを任意にとる。(1)より、∃N s.t. ∀n > Nに対してa_n<α+εが成り立つ。
n≧N+1⇒a_n<α+εが成り立つ。
∴sup{a_{N+1}, a_{N+2},…}≦α+ε
i≧N+1ならば、sup{a_i, a_{i+1},…}≦sup{a_{N+1}, a_{N+2},…}≦α+ε
iを任意にとる。もしも、sup{a_i, a_{i+1},…}≦α-εが成り立てば、(2)が成り立たない。
∴α-ε<sup{a_i, a_{i+1},…}
以上より、i≧N+1ならば、α-ε<sup{a_i, a_{i+1},…}≦α+ε
∴lim sup{a_i, a_{i+1},…} = α
