- 514 名前：１３２人目の素数さん [2022/10/13(木) 22:32:16.85 ID:RMClmb3X.net]
- (2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
(2)の等式を x で微分すると、 f(x + r) - f(x - r) = 2 * r * f'(x) が成り立つことが分かる。
これらより、
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
ここで x を固定する。
y を任意の実数とする。
y > x のとき、
r = y - x > 0 とおく。
f(y) = f(x + r) = f(x) + r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y < x のとき、
r = x - y > 0 とおく。
f(y) = f(x - r) = f(x) - r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y = x のとき、
f(y) = f(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
よって、任意の実数 y に対して、
f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)
である。
よって、 f は 1次関数ないし、定数関数である。
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