- 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/15(月) 06:05:47.02 ID:pfZerAHe.net]
- >>133
ありがとうございます、レスをいただいて再度考えました
表現をお借りして言うと、
(1)「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」という言い方をしていたものを圏論の言葉を用いて言うと「A」ということができる
(2)「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」という言い方をしていたものを圏論の言葉を用いて言うと（V^{**}とV^{*}を適宜置き換えた上で）「Aの否定」ということができる
(3)「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」ということと「A」ということの関係
(4)「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」ということと「Aの否定」ということの関係
というあたりが理解できると「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」という記述が腑に落ちるのかなと思いました
そのうえで、言葉遣いの問題なのでちょっと屁理屈のようになってしまうのですが、
>「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」みたいな言い方をあまり厳密な意味を考えずに使ったことがあるかもしれないが、これは圏論の言葉を用いればその同型が自然変換を定めると言うことができ、これは厳密に定義された言葉になってる、
において、どのような自然変換かを全く指定せず単に「その同型が自然変換を定める」と言ってしまうと、
Vとその一重双対V^*の間の同型により反変関手が定まりますが、この反変関手とそれ自身の間の恒等自然変換は存在するため、
Vとその一重双対V^*の間の同型についても「Vとその一重双対V^*の間の同型が自然変換を定める」と言えてしまい、問題があるように思います
一方、「その同型が自然変換を定める」をより正確に言葉を費やすと「恒等関手とその同型により定まる二重双対関手との間に自然変換が定まる」という感じになるのかなと思いますが、
この場合、対応する上記の（２）としては
「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」という言い方をしていたものを、圏論の言葉を用いて言うと「恒等関手とその同型により定まる一重双対関手との間に自然変換が定まらない」と言うことができる
ということになると思います
しかしここで「恒等関手とその同型により定まる一重双対関手との間に自然変換が定まらない」のが「共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されない」からだとすると、上記の(4)の関係が特に無いように思えてしまいます
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